GéométrieNotion · Glossaire
pendule sphérique
Un pendule sphérique est un système dans lequel une bille, assimilée à un point matériel, est placée à l'intérieur d'une cavité de forme sphérique. À la suite d'une impulsion initiale, la bille peut osciller autour de son point d'équilibre situé au bas de la cavité en décrivant un mouvement spatial à la surface d'une sphère ; des conditions initiales particulières produisent toutefois un mouvement dans un plan vertical ou un mouvement conique. Ce système généralise le pendule simple en permettant des oscillations dans toutes les directions de l'espace, et non plus selon un unique plan vertical.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer les deux angles nécessaires pour situer la bille sur la sphère.
- Relier l’énergie et le moment cinétique vertical au mouvement tridimensionnel.
- Refaire un calcul numérique avec une vitesse azimutale non nulle.
- Distinguer le modèle idéal d’une bille qui roule ou perd le contact.
En clair
Imaginez une bille qui glisse sur la paroi intérieure d’un bol parfaitement rond. Au repos, elle se place tout en bas. Si elle est lancée de côté, elle remonte, redescend et peut aussi tourner autour de l’axe vertical.
Sa position demande alors deux indications : sa hauteur sur la paroi et sa direction autour du bol. C’est cette liberté supplémentaire qui distingue le pendule sphérique du mouvement limité à un seul plan vertical.
Définition
Dans le modèle idéal, le pendule sphérique est un point matériel contraint de rester à une distance fixe ℓ du centre d’une sphère, sous l’action d’une pesanteur uniforme. Pour la cavité sphérique, le point se déplace sur la paroi intérieure. L’angle θ mesure son écart à la verticale descendante, tandis que l’angle φ repère sa direction autour de l’axe vertical. Le système possède donc deux degrés de liberté.
Pour une bille de masse m, sa vitesse et son altitude par rapport au point bas donnent l’énergie mécanique suivante :
En l’absence de frottement, cette énergie se conserve. La symétrie autour de la verticale conserve aussi le moment cinétique vertical :
Si φ reste constant, la trajectoire appartient à un plan vertical et l’on retrouve le pendule simple. Un mouvement spatial peut aussi être conique, avec θ constant et φ variable ; dans le cas général, θ et φ varient tous les deux. Une bille matérielle ajoute toutefois des questions absentes du point idéal : elle peut rouler au lieu de glisser, subir des frottements ou perdre le contact avec la cavité.
Un exemple, pas à pas
Considérons une bille ponctuelle de masse m = 0,20 kg dans une cavité de rayon ℓ = 1,00 m, avec g = 9,81 m·s−2. Elle part à l’angle θ = 30°, sans vitesse le long d’un méridien, mais avec une vitesse angulaire azimutale de 2,00 rad·s−1. Le schéma fixe cette géométrie initiale.
1. À 30°, le facteur sin2 θ vaut 0,25. L’énergie cinétique initiale est donc .
2. L’énergie potentielle, comptée depuis le point bas, vaut . L’énergie mécanique totale est donc d’environ 0,363 J.
3. Le moment cinétique vertical initial vaut . Il reste constant dans le modèle sans frottement.
4. Comme ce moment n’est pas nul, la bille tourne autour de l’axe vertical et ne peut pas atteindre exactement θ = 0°, où sin θ s’annule. Le contrôle est refaisable : l’énergie et le moment cinétique calculés au départ doivent rester respectivement proches de 0,363 J et égaux à 0,100 kg·m2·s−1 tout au long d’une simulation idéale.
En pratique
En simulation, on suit les deux angles θ et φ plutôt qu’une seule abscisse. On préfère ce modèle spatial au pendule simple dès que la trajectoire change de plan ou tourne autour de la verticale. La conservation de l’énergie et du moment cinétique vertical sert alors de contrôle numérique.
Dans une expérience avec une bille et un bol sphérique, on relève sa position à l’aide de deux vues ou d’un suivi tridimensionnel. Si la bille roule, sa rotation doit être mesurée ou modélisée ; le modèle du point glissant ne suffit plus.
Pour de petites oscillations confinées à un plan, le modèle du pendule simple est plus économique. On conserve le modèle sphérique lorsque la variation de φ est observable, car elle porte précisément l’information perdue dans l’approximation plane.
À ne pas confondre
Pendule simple. Son mouvement est imposé dans un plan vertical et une seule coordonnée angulaire suffit. Si la direction azimutale φ varie, le mouvement relève du pendule sphérique plutôt que de ce modèle plan.
Pendule conique. Ce nom décrit un mouvement particulier à angle θ constant, où la masse parcourt un cercle horizontal. Le pendule sphérique est le système plus général : θ peut osciller pendant que φ varie.
Bille roulant dans un bol. Une bille réelle possède une rotation propre et son énergie cinétique dépend de son moment d’inertie. Le point matériel du pendule sphérique n’intègre pas cette rotation ; un écart de période entre glissement et roulement tranche les deux modèles.
Limites et pièges
Impulsion donnée exactement au point bas. Dans un système parfaitement symétrique, la verticale et la vitesse initiale déterminent un plan fixe. Le mouvement reste alors plan, même si la contrainte autorise trois dimensions. Pour observer une trajectoire spatiale, il faut des conditions initiales donnant un moment cinétique vertical non nul.
Passage au point bas. Lorsque Lz n’est pas nul, atteindre θ = 0° rendrait la formule de conservation incompatible avec une vitesse finie. Une trajectoire numérique qui traverse le bas malgré Lz ≠ 0 signale un pas de calcul trop grand ou une mauvaise équation.
Perte de contact. Une cavité réelle ne peut pousser la bille que vers son centre. Si la réaction normale calculée devient négative, la bille quitte la paroi ; il faut alors traiter une phase de chute libre jusqu’au prochain contact.
Petits angles. Remplacer sin θ par θ est une approximation valable seulement lorsque θ, exprimé en radians, reste bien inférieur à 1. À 30°, comme dans l’exemple, les invariants exacts doivent conserver les fonctions trigonométriques.
Pour aller plus loin
Le pendule simple permet d’isoler le cas où l’azimut reste constant et de comparer le modèle plan à la dynamique sphérique.
L’étude avancée consiste à ramener le mouvement de θ à un problème à une dimension grâce à l’énergie et au moment cinétique vertical. Ce potentiel effectif révèle les angles de retournement, puis la variation de φ explique la précession de la trajectoire sur la sphère.
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