AnalyseNotion · Glossaire
problème de la brachistochrone
Le problème de la brachistochrone consiste à déterminer, entre un point A et un point B plus bas et non situé à sa verticale, la courbe sur laquelle un point matériel partant sans vitesse initiale glisse en un temps minimal sous la seule action d’une pesanteur uniforme, sans frottement. La solution est un arc de cycloïde à tangente verticale au départ : en plongeant d’abord fortement, il fait gagner rapidement de la vitesse, ce qui peut compenser un trajet plus long et illustre le calcul des variations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la trajectoire la plus rapide du chemin le plus court.
- Relier la vitesse acquise à la profondeur et à la fonctionnelle de temps.
- Paramétrer l'arc de cycloïde reliant A = (0, 0) à B = (π, 2).
- Comparer les temps 1,003 s sur la cycloïde et 1,189 s sur la droite.
- Repérer les hypothèses physiques et les cas où il faut reformuler le problème.
En clair
Imaginez deux billes identiques lâchées ensemble vers un même point bas. L'une suit une rampe droite ; l'autre plonge d'abord presque verticalement, puis s'aplatit. La seconde parcourt davantage de chemin, mais elle acquiert très vite de la vitesse et peut arriver la première.
La brachistochrone est précisément la courbe de descente qui minimise le temps, et non la distance. Sans frottement, au repos au départ et sous une pesanteur uniforme, cette courbe est un arc de cycloïde dont la tangente initiale est verticale.
Définition
Le problème de la brachistochrone cherche, parmi les courbes reliant un point A à un point B plus bas et non situé exactement à sa verticale, celle que parcourt le plus vite un point matériel lâché sans vitesse initiale. Le mouvement est supposé sans frottement, soumis à la seule pesanteur, dans un champ uniforme. Dans un repère où x est horizontal et où y mesure la profondeur sous A, la conservation de l'énergie donne au point la vitesse , où g est l'accélération de la pesanteur.
Si la trajectoire est décrite localement par une fonction y de x, son temps de parcours est la fonctionnelle suivante :
Minimiser T ne revient donc pas à minimiser la longueur : une descente initiale plus raide augmente rapidement la vitesse. La solution globale usuelle est un arc de cycloïde partant d'une cuspide, avec une tangente verticale en A.
En prenant A pour origine et l'axe vertical orienté vers le bas, cet arc se paramètre par un nombre positif a et un angle θ :
Les valeurs de a et de l'angle final sont fixées par les coordonnées de B. Jean Bernoulli a aussi retrouvé cette forme par une analogie optique : dans des couches horizontales, la vitesse varie avec la profondeur et la loi de Snell-Descartes conduit au même arc. Ce problème est ainsi devenu fondateur pour le calcul des variations.
Un exemple, pas à pas
Prenons A = (0 m, 0 m) et B = (π m, 2 m), avec l'axe vertical orienté vers le bas. Le point part du repos, sans frottement, et g = 9,81 m/s2. Comparons l'arc cycloïdal à la rampe droite.
1. Choisissons a = 1 m et faisons varier l'angle θ de 0 à π. Les équations et , avec les longueurs exprimées en mètres, donnent bien A pour θ = 0 et B pour θ = π.
2. Sur cette cycloïde, le temps écoulé jusqu'au paramètre θ vaut . Le temps jusqu'à B est donc π/√9,81 ≈ 1,003 s.
3. La rampe droite mesure ≈ 3,724 m. Sa pente donne une accélération constante le long de la rampe, et son temps vaut ≈ 1,189 s. La figure conserve exactement les mêmes extrémités et les mêmes temps.
4. Le contrôle est immédiat : 1,003 s est inférieur à 1,189 s, soit environ 0,186 s gagnée. La cycloïde est plus longue que le segment, mais sa plongée initiale fait gagner assez vite de la vitesse pour arriver avant la bille sur la droite.
En pratique
Dans un exercice de mécanique, commencez par identifier ce qui est optimisé. Si la question porte sur le temps d'arrivée d'un mobile sans frottement, la cycloïde est la candidate pertinente ; si elle porte sur la distance, le segment droit reste l'alternative à examiner.
Pour tester un tracé proposé, calculez sa vitesse à chaque profondeur avec la conservation de l'énergie, puis additionnez les durées élémentaires. Comparer seulement les longueurs conduit au mauvais critère, car deux portions de même longueur peuvent être parcourues à des vitesses différentes.
Pour retrouver la forme optimale, deux voies se complètent. Le calcul des variations minimise directement le temps total ; l'analogie optique de Jean Bernoulli remplace la descente par une propagation à vitesse variable et applique la réfraction couche par couche.
À ne pas confondre
Chemin le plus court. Entre A et B, le segment minimise la distance, tandis que la brachistochrone minimise une durée dépendant de la vitesse acquise. Dans l'exemple, la droite est plus courte, mais son temps de 1,189 s dépasse les 1,003 s de la cycloïde.
Chute libre verticale. Une verticale donne l'accélération initiale la plus forte, mais elle n'atteint pas un point B décalé horizontalement. La brachistochrone combine cette plongée initiale avec un infléchissement qui rejoint exactement B.
Principe de Fermat. Celui-ci concerne le trajet optique de durée stationnaire. Jean Bernoulli l'emploie comme analogie pour résoudre la brachistochrone ; le rayon lumineux et le point matériel ne sont pas le même objet physique.
Limites et pièges
Hypothèses physiques modifiées. Avec du frottement, une vitesse initiale non nulle ou une pesanteur qui n'est pas uniforme, la loi v = √(2gy) utilisée ici change. Ces modifications n'ont pas le même effet : sans frottement, une vitesse initiale v₀ donne v² = v₀² + 2gy ; si la pesanteur verticale varie avec la profondeur, on obtient v² = v₀² + 2∫₀ʸ g(u) du ; le frottement, lui, peut faire dépendre la vitesse du chemin suivi. Dans chaque cas, il faut reconstruire la fonctionnelle avant de chercher une courbe optimale.
Point B exactement sous A. Ce cas est exclu de la formulation source. Le déplacement horizontal vaut alors zéro et la chute verticale atteint directement B ; il ne faut pas lui appliquer sans examen le paramétrage d'un arc décalé.
Départ singulier. La cycloïde commence par une cuspide à tangente verticale. L'écriture y = y(x) et sa dérivée deviennent délicates exactement en A, mais le temps total reste fini ; le paramétrage par θ est alors le bon outil.
Arc mal ajusté. Reconnaître une forme cycloïdale ne suffit pas. Ses deux paramètres doivent placer l'extrémité exactement en B ; dans l'exemple, a = 1 m et θ final = π donnent bien le décalage π m et la descente 2 m.
Pour aller plus loin
La fiche cycloïde détaille la courbe qui fournit la trajectoire optimale et aide à relire son paramétrage.
Le principe de Fermat éclaire l'analogie entre durée de descente et durée de propagation utilisée par Jean Bernoulli.
L'article Les débuts de la cycloïde replace cette courbe dans son histoire mathématique et prolonge le contexte donné ici.
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