Dans l’Antiquité, Archimède définissait « sa » spirale par deux mouvements (voir « Les spirales ») et il l’étudiait de manière géométrique. Dans les années 1630, la cycloïde et la trochoïde étaient vues comme des trajectoires et étudiées de manière cinématique. La cycloïde (voir « Des roues et des routes adaptées ») donna lieu à l’invention de méthodes fructueuses puis servit de banc d’essai aux nouvelles méthodes infinitésimales. Les mathématiciens ont associé beaucoup de propriétés géométriques aux deux courbes, mais montré aussi qu’elles répondent à des phénomènes de la nature, ce qui les rend étonnantes.
Mersenne et le paradoxe de la roue
Dans les années 1620, Marin Mersenne s’intéresse au paradoxe de la roue du pseudo-Aristote, à savoir que deux cercles parcourent des espaces proportionnels à leurs diamètres, tandis qu’ils parcourent un même espace s’ils sont solidaires et de même centre.
Il envisage le paradoxe en se demandant quelle est la courbe parcourue par un point de la circonférence d’un cercle qui roule. Il écrit dans ses Questions inouïes de 1634 que c’est « la moitié d’une ellipse », mais il questionne Gilles de Roberval sur cette réponse. Comment savoir si la courbe est ou non une ellipse ? En janvier 1637, Roberval lui répond en donnant une construction de la courbe par points (voir la figure ci-dessous) et en annonçant que « cette ligne n’est ni ellipse, ni pas une des lignes courbes que nous trouvons dans les livres ; qu’au contraire elle a ses propriétés à part, que je décrirais toutes, si j’avais assez de loisir ».
