courbe synchrone

Imaginez plusieurs billes lâchées au même instant sur des rails différents qui aboutissent tous au point O. Certaines partent de plus haut, d'autres suivent un trajet plus incliné. On cherche où placer chaque bille pour qu'elles atteignent O ensemble. L'ensemble de ces positions de départ dessine une courbe synchrone.

Cette courbe ne décrit donc pas le trajet d'une bille. Elle relie des points pris sur plusieurs trajets, sélectionnés par une même durée de descente.

Soit une famille de courbes ayant un point commun O. Dans un champ de pesanteur uniforme, un point matériel est lâché sans vitesse initiale sur chacune d'elles et glisse sans frottement jusqu'à O. Pour une durée fixée, la courbe synchrone est le lieu des points de départ qui donnent tous cette même durée d'arrivée. Elle dépend de la famille de trajectoires et des hypothèses physiques retenues.

Pour les droites passant par O, on place O à l'origine, l'axe vertical étant orienté vers le haut. Un départ a pour coordonnées horizontale x et verticale y, avec y positif. Si C est une constante positive, les départs synchrones vérifient $x^2+y^2=Cyx^2+y^2=Cy$. Il s'agit du cercle de centre situé à la hauteur C/2, de rayon C/2 et de diamètre vertical C, passant par O. La durée commune vaut $t=\sqrt{2C\mathrm{/}g}t=\backslash sqrt\{2C/g\}$, où g désigne l'intensité de la pesanteur.

Ce cercle est le cas posé par Galilée. Dans le cas particulier étudié par Jean Bernoulli, pour la famille de cycloïdes telle qu'elle y est paramétrée et sous les mêmes hypothèses physiques — pesanteur uniforme, départ sans vitesse initiale et glissement sans frottement jusqu'au point commun O —, les courbes synchrones sont les trajectoires orthogonales de ces cycloïdes. Cette relation, propre à ce cas, explique le voisinage de la notion avec les trajectoires orthogonales et le problème tautochrone.

On rencontre une courbe synchrone dans un dessin réunissant plusieurs trajectoires qui convergent vers un même point O. Quatre marqueurs permettent de la reconnaître : les mobiles sont lâchés simultanément, leurs vitesses initiales sont nulles, les glissements sont sans frottement et les points retenus correspondent à une durée commune.

Le support porte donc deux informations différentes. Les courbes de la famille montrent les chemins possibles vers O ; la courbe synchrone coupe ces chemins aux départs qui synchronisent l'arrivée. Dans le cas des droites de Galilée, ce second tracé est un cercle à diamètre vertical passant par O.

La grandeur à comparer est le temps de parcours jusqu'à O, mesuré depuis le lâcher simultané. 1. Repérez d'abord le point commun O et la famille de trajectoires. 2. Vérifiez que chaque départ se trouve au-dessus de O et que le mouvement vers O est possible.

3. Pour chaque trajectoire, reliez longueur parcourue, dénivellation et accélération due à la pesanteur. 4. Conservez les départs qui donnent la durée choisie : leur lieu est la courbe synchrone. L'origine des hauteurs est O et l'axe vertical est ici orienté vers le haut.

À l'œil, le trajet le plus court peut sembler nécessairement le plus rapide. C'est trompeur : une pente plus forte augmente aussi l'accélération le long du trajet. Le bon réflexe consiste à comparer les temps calculés sous les mêmes hypothèses, et non les seules longueurs.

Prenons les droites passant par O dans une pesanteur uniforme d'intensité g = 9,81 m·s⁻². Nous cherchons les départs dont la durée commune correspond à la constante C = 4 m.

Les données sont O = (0 ; 0), P₁ = (0 ; 4), P₂ = (√3 ; 1) et P₃ = (−2 ; 2), les coordonnées étant exprimées en mètres. Le cercle synchrone et les trois segments de descente rendent visibles des longueurs différentes pour une arrivée commune.

1. Pour P₁, x² + y² = 0² + 4² = 16 et 4y = 16.
2. Pour P₂, x² + y² = (√3)² + 1² = 4 et 4y = 4.
3. Pour P₃, x² + y² = (−2)² + 2² = 8 et 4y = 8. Les trois points appartiennent donc au cercle x² + y² = 4y.

4. La durée commune est $t=\sqrt{8\mathrm{/}\mathrm{9,81}}\approx \mathrm{0,903}\mathrm{s}t=\backslash sqrt\{8/9\{,\}81\}\backslash approx0\{,\}903\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$. Chaque bille atteint O après environ 0,903 s, malgré des longueurs de trajet respectives égales à 4 m, 2 m et 2√2 m.

Le contrôle est refaisable en remplaçant les coordonnées de chaque point dans x² + y² = 4y. Si les deux membres coïncident, la durée obtenue est bien la même sous les hypothèses annoncées.

Dans le problème de Galilée, on construit le cercle à diamètre vertical passant par O, puis on choisit sur chaque droite son intersection située au-dessus de O. Cette construction remplace un calcul séparé de chaque durée lorsque les trajectoires sont des droites et les hypothèses idéales sont respectées.

Dans le cas particulier étudié par Jean Bernoulli, on recherche les trajectoires orthogonales de la famille de cycloïdes paramétrée dans ce problème, en conservant les hypothèses de pesanteur uniforme, de départ sans vitesse initiale et de glissement sans frottement jusqu'au point commun O. Cette construction ne vaut pas pour toute famille de cycloïdes ; dans ce cas précis, le critère visible est une intersection à angle droit avec chaque cycloïde, et non l'appartenance au cercle du cas rectiligne.

Si le champ n'est pas uniforme ou si des frottements interviennent, la construction géométrique idéale ne suffit plus. Il faut alors modéliser les forces réellement présentes et comparer les durées issues de ce modèle.

Deux notions voisines se distinguent par la question posée : la courbe synchrone sélectionne des départs sur plusieurs trajectoires, tandis que d'autres problèmes comparent des départs sur une seule trajectoire ou optimisent une durée.

Courbe tautochrone. Sur une tautochrone, plusieurs points de départ appartiennent à une même trajectoire et conduisent à O en un temps indépendant du départ. Pour une courbe synchrone, les départs sont pris sur les différentes courbes d'une famille.

Trajectoire orthogonale. Elle coupe chaque courbe d'une famille à angle droit : c'est un critère géométrique. Dans la famille de cycloïdes citée par la source, ce critère produit les courbes synchrones ; il ne définit pas toutes les courbes synchrones dans tous les cadres.

Départ en O. La durée vaut alors zéro. Ce point appartient géométriquement au cercle, mais il ne représente pas un départ non trivial synchronisé avec les points du cercle dont la durée est positive. Il faut préciser si O est exclu du lieu étudié.

Mauvais côté de O. Un point situé sous O sur une droite ne descend pas vers O sous la seule pesanteur. Le symptôme est une dénivellation de signe contraire au mouvement annoncé ; il faut retenir la branche située au-dessus de O.

Hypothèses physiques modifiées. Un frottement, une vitesse initiale non nulle ou un champ non uniforme change le temps de parcours. Le cercle x² + y² = Cy ne peut plus être appliqué sans établir une nouvelle équation du mouvement.

Intersection non unique. Une courbe de la famille peut couper un même lieu de temps en plusieurs points, ou ne pas le couper. Il faut vérifier pour chaque branche que le trajet vers O existe et que la durée choisie est effectivement réalisée.

La cycloïde permet d'identifier la famille dont les trajectoires orthogonales fournissent le second cas de courbes synchrones cité dans la définition.

La fiche Tautochrone approfondit l'égalité des temps obtenue depuis plusieurs départs sur une même trajectoire.

L'entrée Galilée replace le cas des droites passant par O dans son contexte mathématique et historique.

L'entrée Bernoulli Jean prolonge le cas des cycloïdes et des trajectoires orthogonales associé à Jean Bernoulli.