AnalyseNotion · Glossaire
Tautochrone
Une courbe tautochrone est une courbe telle que, dans un plan vertical sous une gravité uniforme et sans frottement, le temps mis par un point matériel lâché sans vitesse initiale pour atteindre le bas de la courbe est le même quelle que soit sa position de départ, distincte du bas. La cycloïde renversée est la courbe tautochrone par excellence, propriété démontrée par Huygens au XVIIe siècle. Cette propriété est à la base de la conception de certaines horloges à pendule.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère qui définit une courbe tautochrone.
- Relier la forme cycloïdale à un temps indépendant du départ.
- Refaire un calcul avec deux hauteurs de départ.
- Distinguer tautochronie, vitesse finale identique et brachistochrone.
- Repérer les hypothèses qui limitent le modèle idéal.
En clair
Imaginez deux petites billes posées sur une même piste : l'une près du bas, l'autre beaucoup plus haut. On les lâche au même instant, sans les pousser. Sur une piste ordinaire, la plus proche arrive généralement la première. Sur une piste tautochrone idéale, les deux atteignent pourtant le point le plus bas ensemble.
La forme de la piste compense exactement la différence de distance. La bille partie de plus haut parcourt davantage de chemin, mais la gravité lui donne aussi davantage de vitesse. Une cycloïde renversée réalise cet équilibre lorsque le glissement s'effectue sans frottement.
Définition
Dans le modèle considéré, une courbe tautochrone est une trajectoire située dans un plan vertical. Un point matériel y part du repos et descend sous une gravité uniforme, sans frottement. Pour tout départ distinct du point le plus bas, la durée nécessaire pour atteindre ce bas est indépendante de la position initiale. La propriété concerne donc une durée de descente, pas la vitesse d'arrivée ni la longueur parcourue.
La cycloïde renversée possède cette propriété. Une longueur positive a fixe son échelle et un paramètre angulaire θ repère ses points depuis le bas. Dans un repère dont l'axe vertical est orienté vers le haut, une branche s'écrit :
Si s désigne la longueur d'arc comptée depuis le bas, la géométrie de la cycloïde donne :
La hauteur est ainsi proportionnelle au carré de la distance curviligne. Le mouvement devient celui d'un oscillateur harmonique et la durée de descente vaut , où g est l'accélération de la gravité. Elle ne dépend pas du point de départ. Huygens a démontré cette propriété au XVIIe siècle ; elle intervient dans la conception de certaines horloges à pendule.
Un exemple, pas à pas
Deux points matériels partent du repos sur la même branche d'une cycloïde renversée. La courbe et les deux départs sont définis par les données suivantes.
Données : paramètre de longueur a = 1 m ; gravité uniforme g = 9,81 m/s2 ; départ A au paramètre θ = π/3 ; départ B au paramètre θ = 2π/3 ; glissement sans frottement.
Données : paramètre de longueur a = 1 m ; gravité uniforme g = 9,81 m/s2 ; départ A au paramètre θ = π/3 ; départ B au paramètre θ = 2π/3 ; glissement sans frottement.
1. Situer les départs. La hauteur vaut . On obtient yA = 0,50 m et yB = 1,50 m. La longueur d'arc depuis le bas vaut : sA = 2 m et sB = 2√3 m, soit environ 3,464 m.
2. Écrire le mouvement. En notant t le temps écoulé, la relation conduit à :
La pulsation vaut donc .
3. Calculer l'arrivée au bas. Partir du repos puis atteindre s = 0 correspond à un quart de période :
Avec les données choisies, T = π√(1/9,81) s ≈ 1,003 s.
4. Contrôler. Le calcul final ne contient ni θ, ni sA, ni sB. Malgré des hauteurs et des longueurs d'arc différentes, A et B atteignent donc le bas après la même durée, à l'arrondi près.
En pratique
Pour tester une piste candidate, on lâche sans poussée plusieurs mobiles depuis des positions distinctes et l'on compare leurs temps d'arrivée au même point bas. Si les durées varient au-delà de la précision de mesure, cette variation est un indice de non-tautochronie et conduit à rejeter expérimentalement la tautochronie dans les conditions de l'essai, sans suffire à conclure que la piste ne l'est pas mathématiquement.
Dans un modèle géométrique, on mesure plutôt la longueur d'arc s depuis le bas et la hauteur y. Pour une cycloïde renversée, vérifier que ramène la descente à un oscillateur harmonique et établit l'indépendance du temps.
Pour certaines horloges à pendule, la tautochronie fournit un critère de conception : une trajectoire cycloïdale est recherchée lorsque la durée doit rester indépendante de la position de départ dans le modèle idéal. Une trajectoire non tautochrone convient si cette indépendance n'est pas requise.
À ne pas confondre
Tautochrone et brachistochrone. La tautochronie compare plusieurs départs sur une même courbe et demande un temps identique jusqu'au bas. Le problème de la brachistochrone fixe deux points et recherche, parmi plusieurs courbes, celle qui donne le temps minimal. « Même durée » et « durée la plus courte » sont deux critères distincts.
Tautochronie et même vitesse d'arrivée. Deux mobiles peuvent atteindre le bas avec la même vitesse sans y parvenir au même instant. Le test tautochrone porte sur les temps d'arrivée depuis des positions différentes ; mesurer seulement les vitesses finales ne suffit donc pas.
Limites et pièges
Départ exactement au bas. Le point s'y trouve déjà : son temps d'arrivée est nul. La durée concerne les départs au repos distincts du bas, même si ceux-ci peuvent s'en approcher autant que l'on veut.
Frottement ou poussée initiale. Un frottement mesurable ou une vitesse imposée au départ modifie l'équation du mouvement. Des temps différents ne réfutent alors pas la propriété géométrique idéale ; il faut supprimer ces effets ou les intégrer à un autre modèle.
Gravité du modèle. La formule suppose une accélération uniforme et strictement positive, g > 0. Pour g = 0, aucun départ au repos ne descend sous l'effet de la gravité et la durée annoncée n'est pas définie.
Forme approchée. Une piste seulement proche d'une cycloïde donne au mieux des temps proches. L'accord doit être jugé avec la précision de l'instrument ; exiger des mesures exactement égales confondrait une propriété mathématique et sa réalisation physique.
Pour aller plus loin
cycloïde — Pour étudier la courbe qui réalise la propriété tautochrone et sa construction géométrique.
Le pendule cycloïdal — Pour relier la géométrie de la cycloïde au fonctionnement d'un pendule.
problème de la brachistochrone — Pour approfondir l'autre question de temps associée à une trajectoire : la durée minimale entre deux points.
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