principe de Fermat

Imaginez un rayon qui rejoint deux points en traversant deux milieux. Il pourrait, en apparence, suivre une infinité de chemins. Le trajet effectivement suivi se distingue parce qu’une petite déformation ne change pas sa durée au premier ordre. Le plus souvent, cette durée est la plus courte parmi les trajets voisins. Dans un milieu homogène, cela donne une ligne droite. Sur un miroir ou à la frontière entre deux milieux, cette même idée fait apparaître la réflexion ou la réfraction.

Le principe de Fermat est une règle variationnelle de l’optique géométrique. Entre deux points fixés, la trajectoire d’un rayon lumineux rend extrémale sa durée de parcours par rapport aux trajectoires voisines admissibles. « Extrémale » signifie ici que la variation au premier ordre s’annule ; la trajectoire n’est donc pas nécessairement celle de durée absolument minimale.

Si le rayon parcourt plusieurs segments, la durée totale, notée T, est la somme des longueurs L_i divisées par les vitesses v_i dans les milieux correspondants : $T={\sum }_i\frac{L_i}{v_i}T=\backslash sum\_i\; \backslash frac\{L\_i\}\{v\_i\}$. Le trajet réel satisfait alors la condition $\delta T=0\backslash delta\; T=0$ pour les petites variations compatibles avec les points de départ et d’arrivée.

Quand la vitesse est constante dans un milieu homogène, rendre la durée extrémale revient à rendre la longueur extrémale, ce qui donne la propagation rectiligne. À une surface réfléchissante, la condition conduit à la loi de la réflexion. À l’interface de deux milieux où les vitesses diffèrent, elle conduit à la loi de la réfraction.

On rencontre le principe de Fermat dans les schémas d’optique géométrique. Deux points marquent le départ et l’arrivée ; un trait représente le rayon ; des zones distinctes représentent des milieux homogènes ; une frontière signale une réflexion ou une réfraction. Une normale peut être tracée au point où le rayon rencontre cette frontière. Le dessin porte alors une information temporelle : parmi les trajets voisins compatibles avec le dispositif, le rayon dessiné rend la durée de parcours stationnaire.

La grandeur à comparer est la durée totale, et non la seule longueur du trajet. 1. Repérez les points imposés et les frontières entre milieux. 2. Décomposez un trajet candidat en segments. 3. Pour chaque segment, divisez sa longueur par la vitesse dans le milieu traversé, puis additionnez les durées. 4. Déplacez légèrement le point de passage : le trajet de Fermat est celui dont la durée ne varie pas au premier ordre.

L’œil peut préférer le chemin géométriquement le plus court. Ce réflexe n’est valable que si la vitesse est la même partout. Dès que deux milieux ont des vitesses différentes, un détour dans le milieu le plus rapide peut réduire la durée totale.

Deux points sont séparés horizontalement de 3 unités et placés chacun à 1 unité d’une interface plane. Dans le milieu supérieur, la vitesse vaut 2 unités par seconde ; dans le milieu inférieur, elle vaut 1 unité par seconde. Le point de passage est repéré par sa distance horizontale x depuis la verticale du départ.

1. Les longueurs des deux segments sont $L_1=\sqrt{x^2+1}L\_1=\backslash sqrt\{x^2+1\}$ et $L_2=\sqrt{(3-x{)}^2+1}L\_2=\backslash sqrt\{(3-x)^2+1\}$.

2. La durée totale, en secondes, s’écrit :

3. La condition de stationnarité donne $\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{3-x}{\sqrt{(3-x{)}^2+1}}\backslash frac\{x\}\{2\backslash sqrt\{x^2+1\}\}=\backslash frac\{3-x\}\{\backslash sqrt\{(3-x)^2+1\}\}$. Sa solution dans l’intervalle de l’interface vaut environ x ≈ 2,477 unités.

4. La durée obtenue est d’environ 2,464 secondes. Comme contrôle, le passage au milieu, x = 1,5, donne environ 2,704 secondes. Le trajet stationnaire passe donc davantage de distance dans le milieu supérieur, qui est le plus rapide.

Dans un milieu homogène, on retient la ligne droite entre les deux points. Comparer de nombreux chemins devient inutile, car vitesse constante et durée extrémale ramènent le problème à la longueur.

Devant un miroir, on fait varier le point de contact sur la surface. La condition de Fermat sélectionne le trajet réfléchi ; elle est préférable à une simple intuition visuelle lorsque la position du point de réflexion n’est pas évidente.

À l’interface de deux milieux, on additionne les durées passées de chaque côté. Ce calcul remplace la recherche du plus court chemin dès que les vitesses diffèrent et fait retrouver la réfraction.

Plus court chemin. Le critère de Fermat porte sur une durée. Les deux coïncident dans un milieu homogène à vitesse constante, mais pas lorsque la vitesse change d’un milieu à l’autre : dans l’exemple, le trajet stationnaire n’est pas la ligne brisée symétrique.

Principe de moindre action. Le principe de Fermat régit ici la propagation lumineuse par la durée de parcours. Le principe de moindre action appartient à un cadre physique plus général, auquel la source rattache les prolongements dus à Lagrange, Jacobi et Helmholtz.

Extrémal ne signifie pas toujours minimal. Le symptôme du piège est l’affirmation que tout trajet lumineux possède la plus petite durée absolue. Il faut vérifier la stationnarité par rapport aux trajets voisins et parler d’un minimum seulement quand cette propriété est établie.

Vitesses différentes. Dès que les vitesses des deux milieux ne sont pas égales, la longueur seule n’est plus le bon critère. Il faut comparer les quotients longueur sur vitesse ; lorsque les vitesses redeviennent égales, le trajet rectiligne réapparaît.

Points et contraintes oubliés. Déplacer une extrémité ou autoriser un trajet qui ne respecte pas l’interface change le problème variationnel. Il faut fixer les mêmes points de départ et d’arrivée et ne comparer que des trajets admissibles dans le même dispositif.

La fiche Réflexion prolonge le cas où le rayon rencontre une surface réfléchissante et précise la géométrie du changement de direction.

La fiche angle de réfraction aide à lire le changement de direction lorsque le rayon traverse l’interface entre deux milieux.