GéométrieFormule · Glossaire
lois de Snell-Descartes
Les lois de Snell-Descartes, également appelées lois de Descartes, sont deux lois fondamentales de l'optique géométrique qui décrivent le comportement d'un rayon lumineux à l'interface entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents. Ces lois s'appliquent aussi bien à la réflexion qu'à la réfraction de la lumière.
La loi de réflexion énonce que le rayon incident, la normale à la surface au point d'incidence et le rayon réfléchi sont tous trois coplanaires, définissant ainsi le plan d'incidence. Par ailleurs, l'angle d'incidence et l'angle de réflexion, tous deux mesurés par rapport à la normale, sont égaux en valeur absolue.
La loi de réfraction décrit le changement de direction d'un rayon lumineux qui passe d'un milieu d'indice de réfraction n₁ à un milieu d'indice n₂. Lorsqu'une solution réelle θ₂ existe, le rayon réfracté propagatif reste dans le plan d'incidence, et les angles d'incidence θ₁ et de réfraction θ₂ vérifient la relation : n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. Lorsque n₁ < n₂, le rayon se rapproche de la normale ; lorsque n₁ > n₂, il s'en éloigne. Au-delà d'un angle critique, la réfraction n'est plus possible et tout le rayonnement est réfléchi : c'est le phénomène de réflexion totale interne.
Ces lois constituent un outil central de l'optique géométrique et sont à la base de la conception des lentilles, des prismes et des instruments d'optique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer la normale et mesurer correctement les trois angles.
- Appliquer séparément la loi de réflexion et la loi de réfraction.
- Calculer les trajectoires réfléchie et réfractée à une interface air–verre.
- Reconnaître la réflexion totale interne et chiffrer l’angle critique de l’exemple.
En clair
Un rayon lumineux arrive sur une vitre. Une partie repart dans l’air comme sur un miroir ; une autre traverse le verre en changeant de direction. Les lois de Snell-Descartes relient ces deux trajectoires à une même ligne de repère : la normale, perpendiculaire à la surface au point d’impact.
La partie réfléchie repart avec le même angle que le rayon arrivant. La partie transmise se rapproche de la normale en entrant dans un milieu d’indice plus élevé, et s’en éloigne dans le cas inverse.
Définition
Les lois de Snell-Descartes, ou lois de Descartes, décrivent la réflexion et la réfraction d’un rayon lumineux à l’interface de deux milieux transparents d’indices différents. La normale est la droite perpendiculaire à l’interface au point d’incidence. Le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi appartiennent au même plan, appelé plan d’incidence. Lorsqu’un rayon réfracté propagatif existe, il appartient lui aussi à ce plan.
Pour la réflexion, l’angle d’incidence et l’angle de réflexion sont mesurés par rapport à la normale et ont la même valeur absolue. Pour la réfraction, l’indice du premier milieu est noté n1, celui du second n2, l’angle d’incidence est noté θ1 et l’angle de réfraction θ2. Ils vérifient : .
Si n1 est inférieur à n2, le rayon réfracté se rapproche de la normale. Si n1 est supérieur à n2, il s’en éloigne. Dans ce second cas, au-delà d’un angle critique, aucun rayon réfracté ne subsiste : tout le rayonnement est réfléchi, ce qui produit une réflexion totale interne.
Le principe
À l’interface de deux milieux transparents, on note θ1 l’angle entre le rayon incident et la normale, θr l’angle réfléchi, θ2 l’angle réfracté, et n1, n2 les indices des deux milieux. Tous les rayons considérés restent dans le plan d’incidence.
Les deux lois s’écrivent .
La première égalité fixe la direction réfléchie. La seconde détermine la direction transmise tant qu’elle admet un angle de réfraction réel.
Quand l'utiliser
Ces lois s’appliquent à un rayon lumineux qui rencontre l’interface de deux milieux transparents. Il faut connaître les deux indices de réfraction, repérer le point d’incidence et tracer la normale à l’interface. Tous les angles doivent être mesurés depuis cette normale, dans le plan d’incidence.
La relation de réfraction fournit θ2 si le rapport obtenu pour son sinus ne dépasse pas 1. À l’interface verre–air de l’exemple, avec des indices 1,50 et 1,00, l’angle critique vaut environ 41,8°. Pour une incidence de 50° depuis le verre, le calcul demanderait un sinus supérieur à 1 : aucun rayon réfracté réel n’existe. Il faut alors décrire une réflexion totale interne et appliquer la loi de réflexion.
Un exemple, pas à pas
Un rayon passe de l’air, d’indice n1 = 1,00, au verre, d’indice n2 = 1,50. Son angle d’incidence θ1, mesuré par rapport à la normale, vaut 30°. On cherche l’angle réfléchi θr et l’angle réfracté θ2. Le schéma associé représente ces mêmes données et les deux trajectoires produites à l’interface.
1. La loi de réflexion donne directement .
2. La loi de réfraction s’écrit .
3. Comme le sinus de 30° vaut 0,5, on obtient .
4. L’angle recherché est donc .
Le rayon réfléchi forme 30° avec la normale et le rayon réfracté environ 19,5°. Le résultat est cohérent : le verre a l’indice le plus élevé, donc le rayon transmis doit se rapprocher de la normale. En remplaçant dans l’égalité, 1,50 × sin(19,5°) vaut environ 0,50, comme 1,00 × sin(30°).
En pratique
Dans une lentille, on applique la loi de réfraction à chaque interface pour suivre le changement de direction du rayon. Si le rayon repart dans son milieu d’origine au lieu de traverser, c’est la loi de réflexion qui fixe sa direction.
Dans un prisme, on recommence le calcul à chaque face rencontrée. Lorsque le rayon va du milieu d’indice le plus élevé vers le moins élevé, on compare aussi l’incidence à l’angle critique ; au-delà, on retient la réflexion totale interne.
Pour concevoir ou analyser un instrument d’optique, ces lois donnent une trajectoire vérifiable à partir des indices, des interfaces et des angles. Le critère visible reste le même : traversée et déviation pour la réfraction, retour dans le premier milieu pour la réflexion.
À ne pas confondre
Réflexion et réfraction. La réflexion renvoie le rayon dans le milieu d’où il vient, tandis que la réfraction le fait traverser l’interface. Sur une vitre, une lueur renvoyée vers l’observateur relève de la réflexion ; l’objet vu à travers le verre met en jeu la réfraction. Les deux phénomènes peuvent se produire à la même interface, mais ils n’obéissent pas à la même relation angulaire.
Limites et pièges
Incidence normale. Si θ1 = 0°, les angles réfléchi et réfracté valent aussi 0°. Le rayon transmis ne paraît pas dévié, mais la loi reste satisfaite : l’absence de coude visible n’est pas l’absence de réfraction.
Mauvais repère. Mesurer 30° depuis la surface donne en réalité 60° depuis la normale. Il faut tracer la perpendiculaire au point d’incidence avant tout calcul, sinon les deux lois reçoivent le mauvais angle.
Réflexion totale interne. Elle n’est possible que lorsque le rayon va du milieu d’indice le plus élevé vers celui d’indice plus faible. Pour le verre d’indice 1,50 vers l’air d’indice 1,00, l’angle critique θc vérifie . Pour θ1 > θc, il faut cesser de chercher θ2 et conclure à la réflexion totale.
Pour aller plus loin
Réflexion — Approfondir le phénomène qui renvoie un rayon dans son milieu d’origine et préciser sa lecture géométrique.
angle de réfraction — Se concentrer sur l’angle du rayon transmis et sur sa mesure par rapport à la normale.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres