ovale de Descartes

Placez deux points sur une feuille, puis cherchez les positions dont les distances à ces deux repères donnent toujours le même total après pondération. Par exemple, la première distance peut compter double et la seconde une seule fois. Les positions obtenues dessinent un ovale de Descartes.

Cette courbe peut aussi servir de frontière entre deux milieux transparents. Avec le bon rapport d’indices de réfraction, des rayons partis du premier point sont déviés par la courbe et se rejoignent au second. La géométrie de l’ovale organise ainsi un passage précis de la lumière.

Un ovale de Descartes est une courbe plane définie à partir de deux points fixes distincts, nommés F et F′. Pour un point variable M, les longueurs MF et MF′ sont ses distances à ces deux points. On choisit deux coefficients positifs et distincts a et b ainsi qu’une constante k strictement supérieure à min(a, b)·FF′, puis on retient les points qui satisfont :Ces hypothèses assurent ici un niveau non vide et non réduit à un point, tout en écartant les coniques à centre obtenues lorsque les deux distances ont des poids de même valeur.

Cette courbe est aussi appelée courbe aplanétique ou optoïde. En un point régulier M, la tangente forme avec les rayons MF et MF′ deux angles, notés i₁ et i₂. Leur relation fondamentale est :Si le milieu externe contenant F a pour indice n₁, si le milieu interne contenant F′ a pour indice n₂ et si n₁/n₂ = a/b, les rayons issus de F et réfractés sur l’ovale convergent vers F′.

Descartes étudie ces courbes en 1637 ; Newton, Chasles et d’autres les étudient ensuite. Elles sont invariantes par inversion, d’où le qualificatif de courbes anallagmatiques. Le théorème de Quetelet les décrit aussi comme des projections de l’intersection de deux cônes de révolution aux axes parallèles.

Dans un dessin géométrique ou optique, on reconnaît la construction à deux points fixes marqués F et F′, à une courbe passant autour d’eux ou à proximité, et à des segments reliant un point M de la courbe aux deux repères. Une tangente en M et deux angles peuvent compléter le schéma. Si deux milieux sont représentés, la courbe joue le rôle d’interface et chaque côté porte un indice de réfraction.

Le dessin encode deux informations distinctes : une somme pondérée de distances constante sur la courbe, puis une relation entre les angles des rayons et le rapport des indices. Une forme simplement « ovale », sans foyers ni pondération, ne suffit donc pas à identifier un ovale de Descartes.

La grandeur à contrôler est la somme pondérée des distances de M aux deux points fixes. 1. Repérez F, F′ et le point M choisi sur la courbe. 2. Mesurez MF et MF′ dans la même unité. 3. Multipliez chaque distance par son coefficient, puis additionnez. 4. Recommencez sur plusieurs points : la valeur doit rester égale à k, à la précision du tracé ou de l’instrument.

Dans l’exemple conducteur, F = (−2, 0), F′ = (2, 0) et la règle est 2·MF + MF′ = 10. Le coefficient 2 porte seulement sur MF. L’œil peut croire qu’il faut additionner les deux distances comme pour une ellipse ; le bon réflexe consiste à lire les coefficients avant toute mesure. Le schéma met en évidence les deux segments à mesurer sans faire de sa forme une preuve.

Dans un repère sans unité imposée, prenons les points F = (−2, 0) et F′ = (2, 0), les coefficients a = 2 et b = 1, puis la constante k = 10. Testons le point M = (0, 8/3). La figure trace l’ovale correspondant et les deux distances utilisées dans le contrôle.

1. Entre F et M, le déplacement horizontal vaut 2 et le déplacement vertical vaut 8/3. Le théorème de Pythagore donne :

2. Entre F′ et M, les valeurs absolues des deux déplacements sont identiques. On obtient donc exactement MF′ = 10/3.

3. On applique les poids annoncés :

4. Le résultat est exactement k : M appartient à l’ovale. Un contrôle indépendant donne les intersections avec l’axe horizontal : (−4, 0) et (8/3, 0) satisfont elles aussi 2·MF + MF′ = 10.

Pour construire ou contrôler une courbe, on fixe F, F′, a, b et k, puis on teste des points par leurs distances. Si les deux poids ont la même valeur absolue, la convention de cette fiche conduit plutôt à employer la conique à centre correspondante.

En optique géométrique, on choisit le rapport b/a pour l’accorder au rapport n₂/n₁ des deux milieux. L’ovale devient alors une interface aplanétique entre le point source F et le point de convergence F′. Si les indices ne présentent pas ce rapport, cette propriété de convergence n’est pas celle annoncée.

Pour étudier la courbe sous un autre point de vue, on peut utiliser son invariance par inversion ou la représentation du théorème de Quetelet. La première privilégie une transformation plane ; la seconde relie l’ovale à deux cônes de révolution d’axes parallèles.

Une ellipse conserve la somme non pondérée de ses distances à deux foyers. Dans l’exemple, l’égalité est 2·MF + MF′ = 10 : le poids 2 suffit à trancher. Lorsque les poids ont même valeur absolue, on retrouve une conique à centre, exclue de la définition retenue ici.

Les lois de Snell-Descartes donnent la relation locale entre angles et indices lors d’une réfraction. L’ovale de Descartes est la courbe entière dont la géométrie réalise une convergence de F vers F′ lorsque b/a = n₂/n₁. Une seule interface quelconque peut vérifier la loi locale sans être cet ovale.

Poids de même valeur absolue. Si |a| = |b|, la condition définitoire échoue. Avec des poids égaux, la somme des distances mène à une ellipse ; avec des poids opposés, leur différence mène à une hyperbole lorsque les paramètres l’autorisent. Il faut alors nommer la conique obtenue.

Niveau impossible ou dégénéré. Pour a et b positifs, la somme pondérée possède une valeur minimale. Dans l’exemple 2·MF + MF′, ce minimum vaut 4 et est atteint en F : k < 4 ne donne aucun point, tandis que k = 4 réduit le niveau à F. La courbe ovale représentée correspond à k = 10.

Rapport incompatible avec des indices. Les indices de réfraction n₁ et n₂ sont positifs. Si b/a est négatif, l’égalité n₂/n₁ = b/a ne peut pas décrire les deux milieux : il faut séparer l’étude algébrique de l’interprétation optique.

Point non régulier. La relation angulaire suppose qu’une tangente et deux rayons MF, MF′ soient définis. Si le niveau passe par F ou F′, l’un de ces rayons a une longueur nulle ; il faut étudier ce point à part au lieu d’y appliquer directement le rapport des sinus.

La fiche ellipse montre ce que devient la relation aux deux foyers lorsque les distances reçoivent le même poids.

La fiche lois de Snell-Descartes précise la relation locale entre angles d’incidence, de réfraction et indices des milieux.

La fiche foyer - optique - approfondit le rôle du point où convergent les rayons après leur passage par un système optique.