ellipse

Plantez deux punaises dans une feuille, entourez-les d’une ficelle fermée, puis tendez celle-ci avec un crayon. En déplaçant le crayon sans relâcher la ficelle, vous tracez une ellipse. Les punaises sont ses deux foyers. À chaque position du crayon, les deux morceaux de ficelle allant vers les foyers changent de longueur, mais leur longueur totale reste la même.

À longueur de ficelle inchangée, plus les foyers sont éloignés l’un de l’autre, plus l’ellipse paraît aplatie. S’ils se rejoignent, le tracé devient un cercle.

Une ellipse est une courbe plane fermée de la famille des coniques. Deux points fixes, nommés foyers F et F′, la déterminent avec une longueur 2a strictement supérieure à FF′ : chaque point M de la courbe vérifie $MF+M{F}^{\mathrm{\prime }}=2aMF+MF\text{'}=2a$. Cette propriété explique la construction à la ficelle. Elle équivaut aussi à considérer les centres de cercles qui passent par F′ et sont tangents intérieurement au cercle de centre F et de rayon 2a.

Dans un repère dont l’origine est le centre et dont les axes suivent ceux de l’ellipse, le demi-grand axe a et le demi-petit axe b satisfont a > b > 0. Les points de la courbe ont alors pour coordonnées x et y avec $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1$. La distance c du centre à chaque foyer vérifie c² = a² − b², et l’excentricité e vaut c/a. Elle est strictement comprise entre 0 et 1 dans ce cadre non circulaire.

Une autre description emploie un foyer F et une droite ne passant pas par lui, appelée directrice. Si H est le pied de la perpendiculaire menée de M à cette droite, la condition correcte est $\frac{MF}{MH}=e\backslash frac\{MF\}\{MH\}=e$. Enfin, une ellipse apparaît lorsqu’un plan coupe toutes les génératrices d’une même nappe d’un cône de révolution sans être parallèle à l’une d’elles.

Une ellipse possède un centre O, un grand axe et un petit axe perpendiculaires. Leurs demi-longueurs sont respectivement a et b. Les deux foyers F et F′ se placent sur le grand axe, à la même distance c du centre, avec c² = a² − b². Les sommets principaux sont à la distance a de O ; les deux autres sommets sont à la distance b.

Les longueurs a et b fixent donc la forme, puis déterminent les foyers et l’excentricité e = c/a. Le centre et l’orientation servent seulement à placer cette forme dans le plan. Une couleur ou une épaisseur de trait ne change pas l’objet. Ces données suffisent à construire la courbe et à tester les coordonnées de ses points. La figure matérialise ces dépendances sur l’exemple a = 5 et b = 3.

Considérons l’ellipse centrée en O dont le demi-grand axe vaut a = 5 et le demi-petit axe b = 3. Le grand axe est horizontal. On étudie le point M de coordonnées (3 ; 2,4).

1. La distance du centre à un foyer est $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4c=\backslash sqrt\{a^2-b^2\}=\backslash sqrt\{25-9\}=4$.
2. Les foyers ont donc pour coordonnées F(4 ; 0) et F′(−4 ; 0).
3. L’équation réduite est $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\backslash frac\{x^2\}\{25\}+\backslash frac\{y^2\}\{9\}=1$.
4. Pour M, le membre de gauche vaut 9/25 + 5,76/9 = 0,36 + 0,64 = 1 : M appartient bien à l’ellipse.
5. Les distances sont MF = 2,6 et MF′ = 7,4, donc MF + MF′ = 10 = 2a.

Les deux contrôles indépendants concordent exactement : l’équation et la somme des distances reconnaissent le même point de l’ellipse.

Pour tracer une ellipse lorsque ses foyers et la longueur 2a sont connus, la ficelle tendue conserve directement la somme des distances. Un compas suffit à la place si les deux foyers coïncident, car le cas obtenu est alors un cercle.

Pour vérifier un point dans un repère adapté, on remplace ses coordonnées dans l’équation réduite. Le résultat doit être 1 : une valeur inférieure situe le point à l’intérieur, une valeur supérieure à l’extérieur. Le contrôle par les foyers est préférable lorsque les distances sont les données disponibles.

Pour reconnaître une section de cône, on observe la façon dont le plan traverse une nappe. S’il coupe toutes ses génératrices sans devenir parallèle à l’une d’elles, la section est une ellipse ; une autre conique doit être envisagée lorsque ce critère échoue.

Ellipse et cercle. Un cercle a deux demi-axes égaux et ses foyers coïncident avec le centre. Dans la convention a > b retenue ici, il n’est pas une ellipse ; dans une convention plus large, il constitue le cas particulier d’excentricité nulle.

Ellipse, parabole et hyperbole. Le rapport distance au foyer sur distance à la directrice les sépare : il est inférieur à 1 pour l’ellipse, égal à 1 pour la parabole et supérieur à 1 pour l’hyperbole. Un rapport de 0,8 tranche donc en faveur d’une ellipse.

Quotient inversé. Avec H sur la directrice, l’excentricité est MF/MH, et non MH/MF. Pour une ellipse, ce premier quotient est inférieur à 1 ; l’inverser donne une valeur supérieure à 1 et conduit au mauvais diagnostic.

Cas circulaire. Lorsque b = a, la distance c devient nulle et l’excentricité vaut 0. Les deux foyers se confondent. L’équation reste parfaitement définie, mais l’hypothèse stricte a > b exclut ce cas de la convention utilisée ici.

Aplatissement extrême. Quand b tend vers 0 tout en restant positif, l’excentricité tend vers 1 et la courbe s’écrase vers le segment joignant ses sommets principaux. À b = 0, l’équation réduite n’est plus définie : ce n’est plus une ellipse non dégénérée.

Repère mal choisi. La forme x²/a² + y²/b² = 1 suppose un repère centré et aligné avec les axes de l’ellipse. Si la courbe est déplacée ou tournée, il faut d’abord changer de repère plutôt que conclure qu’elle n’est pas elliptique.

conique — Situez l’ellipse dans la famille des courbes obtenues par section d’un cône.

Excentricité — Approfondissez le nombre qui mesure l’écartement des foyers et l’aplatissement de l’ellipse.

L’ellipse et ses différents attributs — Retrouvez les éléments géométriques qui décrivent une ellipse et leurs relations.