foyer d'une conique

Imaginez un point fixe et une droite tracés sur une feuille. Pour chaque point de la courbe, comparez sa distance au point fixe avec sa distance perpendiculaire à la droite. Le point fixe est le foyer.

Si le point fixe n'appartient pas à la droite et si le rapport des deux distances reste le même, avec une valeur strictement positive, pendant tout le tracé, les points obtenus forment une conique non dégénérée. La valeur de ce rapport indique s'il s'agit d'une ellipse, d'une parabole ou d'une hyperbole.

Un foyer d'une conique est un point fixe qui intervient dans une relation de distances caractérisant la courbe. Soit F le foyer, D une droite appelée directrice et M un point de la conique. Le point H est le projeté orthogonal de M sur D, donc MH est la distance de M à la directrice. Le nombre constant e, appelé excentricité, vérifie $e=\frac{MF}{MH}e=\backslash frac\{MF\}\{MH\}$. Une ellipse non circulaire correspond à 0 < e < 1, une parabole à e = 1 et une hyperbole à e > 1.

L'ellipse et l'hyperbole possèdent aussi une caractérisation à deux foyers, notés F et F′. Pour une ellipse, la somme des distances de M aux deux foyers est constante : $MF+M{F}^{\mathrm{\prime }}=cMF+MF\text{'}=c$, avec c strictement supérieur à la distance FF′. Pour une hyperbole, c'est la valeur absolue de leur différence qui est constante : $\mathrm{\mid }MF-M{F}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=c|MF-MF\text{'}|=c$, avec 0 < c < FF′. La valeur absolue inclut les deux branches de l'hyperbole. Dans ces deux caractérisations, la relation doit être satisfaite par tous les points de la conique, et non par un seul point isolé.

Considérons une parabole dont le foyer est F(0 ; 1) et la directrice D d'équation y = −1. Vérifions que le point M(4 ; 4) appartient à cette parabole. Les données sont les coordonnées de F et de M, ainsi que l'équation de D.

1. Le projeté orthogonal de M sur la directrice est H(4 ; −1), car la perpendiculaire à une droite horizontale est verticale.

2. La distance de M au foyer vaut $MF=\sqrt{(4-0{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{25}=5MF=\backslash sqrt\{(4-0)^2+(4-1)^2\}=\backslash sqrt\{25\}=5$.

3. La distance de M à la directrice vaut MH = 4 − (−1) = 5. Le rapport MF/MH est donc égal à 1.

Le point M satisfait bien la condition de la parabole. Le contrôle est refaisable sans formule de distance : le déplacement de F à M forme un triangle rectangle de côtés 4 et 3, donc d'hypoténuse 5, tandis que le segment vertical MH mesure également 5. La figure matérialise ces deux longueurs égales.

Pour identifier une conique donnée par un foyer et une directrice, on calcule le rapport entre la distance au foyer et la distance à la directrice. On préfère ce critère à la forme dessinée lorsque l'échelle du tracé peut tromper : un rapport inférieur, égal ou supérieur à 1 tranche entre ellipse, parabole et hyperbole.

Pour construire une parabole point par point, on cherche des positions situées à égale distance du foyer et de la directrice. Cette construction est préférable à un tracé à main levée quand les données initiales sont précisément le point et la droite.

Pour contrôler un point d'une ellipse ou d'une hyperbole dont les deux foyers sont connus, on mesure les deux distances focales. Selon la courbe, on vérifie leur somme ou la valeur absolue de leur différence ; ce test évite de devoir retrouver une directrice.

Le foyer n'est pas le centre d'une conique. Le centre est un point de symétrie lorsqu'il existe, tandis que le foyer est défini par une relation de distances. Dans une ellipse non circulaire, les deux foyers sont distincts du centre et symétriques par rapport à lui ; une parabole, elle, n'a pas de centre.

Le foyer n'est pas non plus un sommet. Un sommet appartient à la conique, alors que le foyer n'appartient généralement pas à la courbe. Dans l'exemple F(0 ; 1), le sommet est (0 ; 0) : leurs coordonnées suffisent à les distinguer.

Le seuil e = 1 est charnière : il donne une parabole, et non une ellipse « très allongée » ni une hyperbole. Pour classer la courbe, il faut comparer la valeur exacte à 1 ou tenir compte de la précision disponible si e provient de mesures.

Le cercle est le cas limite e = 0 de la famille des ellipses. Ses deux foyers coïncident avec le centre, mais la définition foyer-directrice ordinaire demanderait une directrice rejetée à l'infini. Pour un cercle, on emploie donc directement le centre et le rayon.

Dans la définition bifocale de l'hyperbole, oublier la valeur absolue ne décrit qu'une branche selon l'ordre choisi pour les foyers. Pour conserver les deux branches, il faut vérifier $\mathrm{\mid }MF-M{F}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=c|MF-MF\text{'}|=c$.

L'égalité des distances à un foyer et à une directrice caractérise la parabole entière seulement lorsque F n'appartient pas à D. Si le foyer est sur la directrice, l'ensemble obtenu est dégénéré ; il ne faut pas l'interpréter comme une parabole ordinaire.

La fiche conique replace le foyer dans la famille géométrique commune aux ellipses, paraboles et hyperboles.

La fiche Excentricité approfondit le rapport qui classe les coniques dans la définition par foyer et directrice.

Les fiches ellipse, parabole et hyperbole détaillent séparément les trois formes non dégénérées rencontrées ici.