GéométrieNotion · Glossaire
Directrice
La directrice d'une conique est une droite fixe intervenant dans la définition focale de la conique. Pour un couple foyer-directrice admissible, où le foyer n'appartient pas à la directrice, une ellipse, une parabole ou une hyperbole non dégénérée est le lieu des points dont le rapport de la distance au foyer sur la distance à la directrice est constant et égal à l'excentricité. La parabole possède une directrice perpendiculaire à son axe, tandis que l'ellipse et l'hyperbole en possèdent deux. La directrice est utilisée dans la construction géométrique et l'étude des propriétés optiques des coniques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un foyer, une directrice et l'excentricité par un rapport de distances.
- Distinguer les cas de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole.
- Vérifier exactement l'appartenance d'un point à une parabole.
En clair
Imaginez un point fixe et une droite fixe tracés sur une feuille, le point fixe n'étant pas situé sur la droite. Un autre point se déplace, mais il doit rester aussi loin du point fixe que de la droite. La trajectoire obtenue est une parabole. La droite fixe est sa directrice et le point fixe est son foyer.
Pour une ellipse ou une hyperbole, les deux distances ne sont plus égales : leur rapport garde une valeur constante, appelée excentricité. Cette règle transforme une simple droite de repère en outil pour tracer et reconnaître une conique.
Définition
Une directrice est une droite fixe associée à un foyer d'une conique. Pour un point variable M, on note d(M, F) sa distance au foyer F et d(M, D) sa distance à la directrice D, mesurée perpendiculairement à cette droite. Le point M appartient à la conique lorsque M n'est pas sur D et que le rapport suivant vaut l'excentricité positive e :
Pour un couple foyer-directrice admissible, avec F n'appartenant pas à D, cette classification concerne les coniques non dégénérées : lorsque 0 < e < 1, le lieu est une ellipse ; lorsque e = 1, c'est une parabole ; lorsque e > 1, c'est une hyperbole. La parabole a une directrice, perpendiculaire à son axe. Une ellipse ou une hyperbole non dégénée possède deux foyers et deux directrices : chaque foyer est apparié à la directrice correspondante dans la même relation. La directrice intervient ainsi dans la construction géométrique de ces courbes et dans l'étude de leurs propriétés optiques.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier qu'un point appartient à une parabole. Les données sont le foyer F de coordonnées (0 ; 2), la directrice D d'équation y = −2, l'excentricité e = 1 et le point M de coordonnées (4 ; 2). La figure rend visibles les deux distances comparées.
1. Le segment MF est horizontal. La différence entre les abscisses de M et de F vaut 4, donc d(M, F) = 4.
2. La distance de M à la droite horizontale y = −2 se mesure verticalement. Elle vaut 2 − (−2) = 4, donc d(M, D) = 4.
3. Le rapport des distances vaut 4/4 = 1. Il est donc égal à l'excentricité e. Le point M appartient bien à la parabole.
4. En appliquant le même test à un point quelconque de coordonnées (x ; y), l'égalité des distances conduit à l'équation de la parabole :
Le contrôle est refaisable en remplaçant x par 4 et y par 2 : les deux membres valent 16. Le sommet (0 ; 0) est lui aussi à distance 2 du foyer et de la directrice.
En pratique
Pour construire une conique point par point, on fixe un foyer, une directrice et une excentricité. On cherche ensuite des positions qui respectent le rapport des distances. Une équation cartésienne est préférable si l'on doit calculer rapidement beaucoup de points.
Pour identifier le type de conique non dégénérée donné par un couple foyer-directrice admissible, où le foyer n'appartient pas à la directrice, on observe la valeur de l'excentricité : inférieure à 1 pour une ellipse, égale à 1 pour une parabole, supérieure à 1 pour une hyperbole.
Dans une étude géométrique ou optique, la formulation par foyer et directrice met en avant le rôle du foyer. Une autre description de la conique convient mieux lorsque l'on cherche plutôt ses intersections ou ses symétries.
À ne pas confondre
Directrice et axe d'une parabole. La directrice est une droite extérieure à la parabole ; l'axe est une droite de symétrie qui passe par le foyer. Le critère décisif est leur direction : ils sont perpendiculaires.
Directrice et tangente. La directrice est fixée dans la définition focale et ne touche pas la conique. Une tangente dépend du point de contact choisi sur la courbe. Changer ce point change la tangente, mais pas la directrice.
Limites et pièges
Deux directrices ne sont pas interchangeables. Pour une ellipse ou une hyperbole, chacune est associée à l'un des deux foyers. Mélanger un foyer avec l'autre directrice fait disparaître le rapport constant attendu.
Un point de la directrice n'entre pas dans le rapport. Sa distance à la droite vaut zéro, donc le quotient n'est pas défini. Il faut tester seulement les points situés hors de la directrice.
La valeur e = 1 est le seuil charnière. Pour un couple admissible où le foyer n'appartient pas à la directrice, les valeurs 0 < e < 1 donnent une ellipse et les valeurs e > 1 une hyperbole non dégénérées. Si le foyer appartient à la directrice, le lieu peut être dégénéré. La valeur e = 0 réduit la condition au seul foyer et ne produit pas une conique ordinaire ; une valeur négative est impossible pour un rapport de distances.
Pour aller plus loin
conique — Situer la définition par foyer et directrice parmi les descriptions géométriques de cette famille de courbes.
Excentricité — Approfondir le nombre qui fixe le rapport des distances et distingue ellipse, parabole et hyperbole.
parabole — Retrouver le cas où les distances au foyer et à la directrice sont égales.
ellipse — Examiner la conique d'excentricité strictement comprise entre 0 et 1 et ses deux couples foyer-directrice.
hyperbole — Prolonger l'étude vers le cas d'excentricité supérieure à 1 et ses deux branches.
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