parabole

Plantez un point sur une feuille, puis tracez une droite qui ne passe pas par lui. Cherchez tous les endroits où la distance au point égale la distance à la droite. Leur réunion dessine une parabole.

Le point s'appelle le foyer et la droite, la directrice. La courbe se recourbe autour d'un sommet, puis ses deux branches s'écartent. Cette égalité de distances, et non l'apparence seule du dessin, caractérise la parabole.

Une parabole est une conique. Elle peut être obtenue en coupant un cône de révolution par un plan parallèle à une génératrice du cône. Dans le plan, elle est aussi le lieu des points dont la distance à un point fixe, le foyer F, égale la distance à une droite fixe, la directrice D. Le foyer n'appartient pas à la directrice. Parmi les coniques non dégénérées, cette condition correspond à l'excentricité 1.

Dans un repère réduit dont l'origine est le sommet et dont l'axe des abscisses est l'axe de la parabole, le paramètre réel non nul p fixe son ouverture. Son équation cartésienne est $y^2=2pxy^2=2px$. Le foyer a pour coordonnées (p/2 ; 0) et la directrice a pour équation x = −p/2. Le signe de p détermine le sens d'ouverture.

Avec le sommet comme pôle et l'axe comme direction de référence, la même relation prend la forme polaire $\rho =\frac{2p\cos \theta }{{\sin }^2\theta }\backslash rho=\backslash frac\{2p\backslash cos\backslash theta\}\{\backslash sin^2\backslash theta\}$, sur les directions où cette écriture est définie. La caractérisation par foyer et directrice reste indépendante du choix du repère.

Quatre éléments structurent la parabole. Le foyer F est le point fixe et la directrice D est la droite fixe utilisées dans l'égalité des distances. L'axe passe par F et est perpendiculaire à D. Le sommet se situe sur cet axe, à mi-distance entre F et D.

Le foyer et la directrice suffisent à déterminer la courbe : chaque point M retenu vérifie MF = distance(M, D). Leur écart règle l'ouverture, tandis que leur position règle l'orientation et l'emplacement. La couleur, l'épaisseur et la longueur de l'arc tracé ne définissent pas l'objet. Dans le repère réduit de l'exemple, p = 4, F = (2 ; 0), D a pour équation x = −2 et le sommet est (0 ; 0). La figure rend visibles ces dépendances.

On travaille dans un repère orthonormé. Les données sont le paramètre p = 4, le foyer F = (2 ; 0), la directrice D d'équation x = −2 et le point candidat M = (2 ; 4).

1. Remplaçons p par 4 dans l'équation réduite : $y^2=8xy^2=8x$.
2. Pour M, le membre de gauche vaut 4² = 16 et celui de droite vaut 8 × 2 = 16. Le point satisfait donc l'équation.
3. La distance de M au foyer vaut MF = 4.
4. La perpendiculaire de M à D est horizontale. Sa longueur vaut 2 − (−2) = 4.
5. Les deux distances sont égales : M appartient à la parabole.

Le contrôle est refaisable sans l'équation : mesurer MF et la distance perpendiculaire de M à D donne 4 unités dans les deux cas. Le sommet (0 ; 0) passe aussi le test, car il est à 2 unités de F et de D.

Pour construire la courbe à partir d'un foyer et d'une directrice, on choisit plusieurs distances à D, puis on conserve les intersections situées à la même distance de F. Ce procédé est préférable à un tracé à main levée lorsque l'égalité métrique doit être contrôlée.

Pour vérifier un point candidat, on compare sa distance au foyer à sa distance perpendiculaire à la directrice. Si un repère réduit est déjà donné, la substitution dans y² = 2px offre un contrôle numérique plus rapide.

Pour reconnaître la parabole parmi des coniques, l'excentricité fournit un critère : la valeur 1 tranche. Lorsque le cône et le plan de coupe sont visibles, le parallélisme du plan avec une génératrice fournit l'autre caractérisation donnée par la géométrie dans l'espace.

Parabole et ellipse. La parabole compare la distance à un foyer et la distance à une droite directrice. L'ellipse compare la somme des distances à deux foyers à une constante. Un point équidistant de F et de D relève donc du premier critère, même si un arc dessiné ressemble visuellement à une ellipse très allongée.

Paramètre nul. Dans y² = 2px, prendre p = 0 donne y² = 0, donc la droite y = 0 avec multiplicité algébrique. Ce cas dégénéré n'est pas la parabole non dégénérée décrite par un foyer extérieur à sa directrice ; il faut imposer p ≠ 0.

Écriture polaire singulière. La formule utilisant le sommet comme pôle contient sin² θ au dénominateur. Pour sin θ = 0, son expression quotient n'est pas définie. Cela ne supprime ni le sommet ni l'axe de la courbe : il faut revenir à l'équation cartésienne ou raisonner par passage à la limite.

Somme avec une droite. Pour une constante positive l, la condition MF + distance(M, D) = l ne donne pas une parabole entière. Le lieu est vide si l < distance(F, D), se réduit au segment joignant F à sa projection orthogonale sur D si l = distance(F, D), et sélectionne deux arcs paraboliques associés à deux directrices parallèles à D, placées à la distance l de D, si l > distance(F, D). Il faut conserver les contraintes de côté qui proviennent de la valeur absolue de la distance à D.

La caractérisation par foyer et directrice ouvre deux prolongements. On peut étudier les propriétés géométriques déduites de l'égalité des distances, puis la construction associée à la condition MF + distance(M, D) = l. Cette dernière fait apparaître deux arcs de paraboles et oblige à suivre séparément les deux côtés de D. Ces outils préparent aussi l'étude des applications physiques mentionnées par la définition de référence.