hyperbole équilatère

Tracez deux droites perpendiculaires, puis imaginez deux branches courbes qui s’en approchent sans les rejoindre. Cette silhouette en deux morceaux est celle d’une hyperbole équilatère. Les deux droites sont ses asymptotes.

Dans un repère adapté, les coordonnées d’un point de la courbe se compensent : si l’une grandit, l’autre diminue afin que leur produit reste constant. Le mot « équilatère » traduit ici la symétrie des deux directions et l’angle droit formé par les asymptotes.

Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont les deux demi-axes, notés a et b, ont la même longueur. Dans un repère orthonormé centré sur la courbe et dirigé selon ses axes de symétrie, elle vérifie $x^2-y^2=a^{2}x^2-y^2=a^2$, avec a strictement positif. Ses asymptotes ont alors pour équations $y=xy=x$ et $y=-xy=-x$ : elles sont perpendiculaires.

La distance du centre à chaque foyer est notée c. L’excentricité, quotient c/a, vaut √2. Pour un point M, un foyer F et la directrice associée D, la distance de M à D est notée d(M, D) ; la caractérisation monofocale correcte est $\frac{MF}{d(M,D)}=\sqrt{2}\backslash frac\{MF\}\{d(M,D)\}=\backslash sqrt\{2\}$. Avec les deux foyers F et F′, la différence des distances reste constante : $\mathrm{\mid }MF-M{F}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=2a=\frac{F{F}^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{2}}|MF-MF\text{'}|=2a=\backslash frac\{FF\text{'}\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$.

Si les axes de coordonnées sont placés sur les asymptotes et si les nouvelles coordonnées sont notées u et v, l’équation devient $uv=kuv=k$, où la constante k vaut a²/2 avec l’orientation choisie. La courbe peut aussi être obtenue en coupant un cône de révolution par un plan parallèle à son axe.

La courbe possède un centre, deux branches, deux sommets, deux foyers et deux asymptotes. Le centre est le milieu des sommets comme des foyers. Chaque branche passe par un sommet et s’approche des deux asymptotes quand elle s’éloigne. Les foyers commandent la différence constante des distances, tandis que les directrices interviennent dans la caractérisation par l’excentricité.

L’égalité des demi-axes et la perpendicularité des asymptotes définissent le cas équilatère ; la position du repère, l’échelle et le sens des axes ne le définissent pas. La figure prend a = 2 : elle suffit à placer les sommets, les foyers, les asymptotes et les deux branches.

Considérons la courbe d’équation $x^2-y^2=4x^2-y^2=4$. Les données sont a = 2 et le point M de coordonnées (5/2, 3/2). Dans le repère tourné, les coordonnées sont notées u et v, avec $u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}u=\backslash frac\{x+y\}\{\backslash sqrt\{2\}\},\backslash qquad\; v=\backslash frac\{x-y\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$.

1. On teste M : 25/4 − 9/4 = 16/4 = 4. Le point appartient donc à la courbe.
2. Pour ce point, $u=2\sqrt{2}u=2\backslash sqrt\{2\}$ et $v=\frac{1}{\sqrt{2}}v=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$.
3. Leur produit vaut exactement 2, soit a²/2. L’équation dans les axes asymptotiques est donc $uv=2uv=2$.
4. Pour contrôler, on pose y = 0 dans l’équation initiale : x = ±2. On retrouve les deux sommets visibles dans la représentation.

Les deux calculs décrivent donc le même point dans deux repères différents. Le premier rend l’appartenance à la courbe immédiate ; le second fait apparaître le produit constant. Le contrôle par les sommets relie enfin ces résultats au tracé. Aucun arrondi n’intervient : chaque égalité peut être reprise avec des fractions et des racines exactes.

Pour reconnaître la courbe sur un graphique, on prolonge mentalement ses deux directions d’approche. Si elles sont perpendiculaires, l’hyperbole est équilatère ; sinon, il faut employer le modèle d’une hyperbole générale.

Pour calculer dans un repère porté par les asymptotes, on vérifie que le produit des deux coordonnées reste constant. La forme uv = k est alors plus directe que l’équation centrée ; cette dernière reste préférable pour lire les sommets et les foyers.

Dans une construction par section conique, on examine l’orientation du plan de coupe. Le cas équilatère apparaît lorsque ce plan est parallèle à l’axe du cône de révolution. Sans ce parallélisme, la construction ne garantit pas le cas équilatère ; il faut alors contrôler l’angle des asymptotes.

Une hyperbole quelconque. Elle peut avoir des demi-axes de longueurs différentes et des asymptotes non perpendiculaires. Par exemple, si a ≠ b dans son repère canonique, elle n’est pas équilatère.

Une parabole. Une parabole forme une seule branche et ne possède pas les deux asymptotes sécantes de l’hyperbole. Une courbe en deux branches qui approche deux droites perpendiculaires tranche donc en faveur de l’hyperbole équilatère.

Paramètre nul. La condition a > 0 est indispensable. Si a = 0, l’équation x² − y² = 0 donne les deux droites y = ±x : ce cas dégéné n’est plus une hyperbole.

Axes changés sans changer les coordonnées. La forme uv = k suppose que les nouvelles coordonnées sont portées par les asymptotes. Sans la rotation correspondante, remplacer directement x² − y² par xy donne un calcul incohérent.

Asymptotes prises pour la courbe. Les branches s’approchent indéfiniment des asymptotes mais aucun de leurs points n’y appartient. Dans la forme uv = k avec k non nul, ni u ni v ne peut valoir 0.

Hyperbole — Replacer le cas équilatère dans la famille et comparer les formes obtenues lorsque les demi-axes diffèrent.

Conique — Situer l’hyperbole parmi les courbes obtenues par section d’un cône.

Asymptote — Préciser ce que signifie l’approche d’une droite par une branche non bornée.

Excentricité — Relier la valeur √2 à la position des foyers et des directrices.