hyperbole

Imaginez deux points fixes sur une feuille. En vous déplaçant sur une hyperbole, vous pouvez mesurer votre distance à chacun : l'écart entre ces deux distances reste toujours le même. La courbe s'étend en deux parties qui se rapprochent de deux droites sans les suivre exactement.

Cette même forme apparaît lorsqu'un plan coupe un cône assez incliné par rapport à son axe. Les deux descriptions parlent donc d'un seul objet géométrique.

Une hyperbole est une courbe du second degré de la famille des coniques. Dans sa définition bifocale, deux points fixes sont appelés foyers F et F′. Un point M appartient à l'hyperbole lorsque la valeur absolue de la différence entre les distances MF et MF′ est constante. Si a désigne le demi-axe transverse, ce critère s'écrit $\mathrm{\mid }MF-M{F}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=2a|MF-MF\text{'}|=2a$, avec pour une hyperbole non dégénérée. À la différence de l'hyperbole, l'ellipse fixe la somme de ces distances.

La définition monofocale utilise un foyer F et une droite directrice D qui ne passe pas par F. Si H est le projeté orthogonal de M sur D, alors MH est la distance de M à D et le rapport MF/MH vaut une constante e, appelée excentricité, avec e strictement supérieure à 1. Dans un repère orthonormé adapté, a conserve son rôle de demi-axe transverse, b désigne le second paramètre et leur rapport b/a fixe les pentes opposées des asymptotes. La description historique est celle d'une section de cône de révolution : le plan de coupe fait avec l'axe un angle inférieur à celui d'une génératrice avec cet axe.

La description bifocale repose sur les deux foyers F et F′, le point variable M et la constante 2a. Les foyers restent fixes tandis que M se déplace ; ses deux distances changent, mais la valeur absolue de leur différence reste égale à 2a. La description monofocale remplace le second foyer par une directrice D : la distance MH à cette droite est alors comparée à la distance MF au foyer par l'excentricité e.

Dans l'équation réduite, a et b règlent ensemble la courbe et les pentes opposées b/a et −b/a de ses asymptotes. Un changement de repère orthonormé préserve les critères géométriques ; une mise à l'échelle, surtout si elle n'est pas uniforme, impose d'adapter le repère et les paramètres. Ces données suffisent à tester l'appartenance d'un point et à tracer la courbe avec ses asymptotes.

Données. Dans un repère orthonormé, on choisit a = 3 et b = 4. On étudie l'équation réduite $x^2\mathrm{/}9-y^2\mathrm{/}16=1x^2/9-y^2/16=1$ et le point M de coordonnées (5 ; 16/3).

1. Pour M, le premier terme vaut 5²/9 = 25/9.
2. Le second vaut (16/3)²/16 = 16/9.
3. Leur différence vaut 25/9 − 16/9 = 1 : M appartient donc à l'hyperbole.
4. Le rapport b/a vaut 4/3. Les asymptotes sont ainsi $y=\pm (4\mathrm{/}3)xy=\backslash pm(4/3)x$.
Contrôle. Pour l'abscisse x = 5, l'équation donne y²/16 = 16/9, donc y = ±16/3. Les deux points obtenus vérifient le même calcul. La figure rend visibles la courbe, le point M et les deux droites asymptotes pour ces valeurs.

Pour vérifier si un point appartient à une hyperbole donnée par son équation réduite, remplacez x et y par ses coordonnées. Si la différence obtenue vaut 1, le point est sur la courbe ; sinon, un tracé approximatif ne suffit pas à conclure.

Lorsque les foyers et la constante 2a sont connus, comparez directement les deux distances du point aux foyers. Cette méthode est préférable à l'équation si aucun repère orthonormé n'est fourni.

Pour esquisser la courbe à partir de x²/a² − y²/b² = 1, tracez d'abord les deux droites de pentes opposées ±b/a. Elles guident les prolongements de l'hyperbole, tandis que l'équation reste le critère exact.

Ellipse. Avec deux foyers, l'ellipse impose une somme constante des distances, tandis que l'hyperbole impose la valeur absolue d'une différence constante. Calculer MF + MF′ ou |MF − MF′| tranche immédiatement.

Parabole. Dans la définition par foyer et directrice, l'hyperbole exige le rapport MF/MH = e, avec une excentricité e strictement supérieure à 1. Si ce seuil n'est pas satisfait, le critère donné ne définit pas une hyperbole.

Oublier la valeur absolue. Les distances MF et MF′ échangent leur rôle selon la partie de la courbe. Une différence signée peut donc valoir 2a ou −2a ; il faut tester |MF − MF′| = 2a.

Accepter e = 1. La définition monofocale donnée exige e > 1. Une valeur égale ou inférieure à 1 échoue au seuil caractéristique de l'hyperbole ; il faut alors requalifier la courbe au lieu de conserver ce nom.

Prendre une asymptote pour une partie de la courbe. Si l'on remplace y par (b/a)x dans x²/a² − y²/b², le membre de gauche vaut 0 et non 1. Les asymptotes guident le tracé, mais leurs points ne vérifient pas l'équation réduite.

Changer le type de coupe du cône. La description historique suppose que l'angle du plan avec l'axe est inférieur à l'angle d'une génératrice avec cet axe. Sans cette inégalité, cette coupe ne répond plus à la définition donnée.

conique. Situez l'hyperbole dans la famille des courbes obtenues comme sections d'un cône.

Excentricité. Approfondissez le rôle du rapport entre la distance à une directrice et la distance à un foyer.

asymptote. Précisez la relation entre une courbe et une droite dont elle se rapproche.

ellipse. Comparez la somme constante des distances avec la différence constante propre à l'hyperbole.