Bifocale (définition de l'ellipse)

Plantez deux punaises dans une feuille, puis prenez une ficelle de longueur strictement supérieure à leur écartement, fixez-en une extrémité à chacune et tendez le fil avec un crayon. En déplaçant le crayon sans détendre la ficelle, vous tracez une ellipse non dégénérée. À chaque position, les deux longueurs qui relient le crayon aux punaises ont la même somme.

Les punaises matérialisent les deux foyers. La forme obtenue dépend de leur écartement et de la longueur totale imposée par la ficelle : voilà l'idée bifocale.

Une définition bifocale caractérise une conique à partir de deux points fixes, appelés foyers F et F′. Pour une ellipse non dégénérée, le demi-grand axe est noté a, le demi-petit axe b et la demi-distance entre les foyers c, avec a ≥ b > 0 et 0 ≤ c < a. Un point M appartient à l'ellipse si la somme de ses distances aux foyers vaut 2a.

Ces paramètres sont liés par $c^2=a^2-b^{2}c^2=a^2-b^2$. Lorsque les foyers sont distincts, leur distance vaut 2c. Le cas c = 0 donne un cercle : les deux foyers coïncident et a = b.

Pour une hyperbole, la règle porte sur la valeur absolue de la différence des distances : elle vaut 2a. Le paramètre a est alors le demi-axe transverse, et la relation devient $c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$. La somme caractérise donc l'ellipse, tandis que la différence absolue caractérise l'hyperbole.

Une ellipse bifocale s'organise autour de son centre O, milieu des foyers F et F′. Le grand axe passe par ces trois points. Son demi-grand axe a fixe la somme des distances, égale à 2a. Le petit axe, perpendiculaire au grand axe en O, a pour demi-longueur b. Enfin, c mesure la distance du centre à chaque foyer.

Le choix de a et b détermine c par $c=\sqrt{a^2-b^2}c=\backslash sqrt\{a^2-b^2\}$, puis la position des foyers. Réciproquement, les foyers et une somme 2a supérieure à leur distance déterminent l'ellipse. Une translation ou une rotation change son placement, pas sa structure bifocale. Ces données suffisent à construire la courbe et à tester si un point lui appartient.

Considérons une ellipse centrée en O, avec un demi-grand axe a de 5 unités et un demi-petit axe b de 3 unités. Son grand axe est horizontal. Nous voulons placer ses foyers puis vérifier que le point P de coordonnées (0, 3) appartient à l'ellipse.

1. On calcule la demi-distance focale c : $c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4c=\backslash sqrt\{5^2-3^2\}=\backslash sqrt\{16\}=4$.

2. Les foyers ont donc pour coordonnées F(−4, 0) et F′(4, 0).

3. Pour P(0, 3), le théorème de Pythagore donne $PF=P{F}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{4^2+3^2}=5PF=PF\text{'}=\backslash sqrt\{4^2+3^2\}=5$ unités.

4. Ainsi, PF + PF′ = 5 + 5 = 10 unités, exactement comme 2a = 10 unités. Le critère bifocal est satisfait. Le dessin permet aussi de contrôler que P est l'extrémité supérieure du petit axe, à 3 unités du centre.

Pour tracer une ellipse non dégénérée sans repère, on choisit une ficelle de longueur strictement supérieure à la distance entre les foyers, on fixe chaque extrémité à un foyer et on tend le fil avec un crayon. Cette construction est préférable au compas quand la propriété à conserver est la somme des distances.

Pour vérifier qu'un point appartient à une ellipse connue par ses foyers, on mesure ou calcule ses deux distances focales, puis on additionne. Si les données sont mesurées, on compare la somme à 2a avec la précision des instruments, et non par une égalité irréaliste.

Dans un repère, l'équation cartésienne est souvent plus rapide pour tester beaucoup de points. La définition bifocale reste plus parlante lorsque les foyers sont donnés ou lorsque l'on veut expliquer la construction géométrique de la courbe.

Ellipse et hyperbole. Avec deux foyers distincts, une somme constante des distances strictement supérieure à la distance entre les foyers donne une ellipse non dégénérée ; une différence absolue constante strictement positive et strictement inférieure à cette distance donne une hyperbole non dégénérée. Pour deux distances égales à 5, la somme vaut 10 mais la différence absolue vaut 0 : ce même point peut satisfaire le premier critère, pas un critère hyperbolique fixé à une constante positive.

Définition bifocale et définition foyer-directrice. La première emploie deux foyers et compare deux distances à des points. La seconde emploie un foyer et une droite directrice, puis impose un rapport de distances. La présence d'une directrice dans les données indique qu'il faut utiliser le second cadre.

Somme trop petite. La somme des distances d'un point aux deux foyers est toujours au moins égale à la distance FF′, soit 2c. Si la constante 2a est inférieure à 2c, aucun point ne convient. Si a = c, on obtient un segment, pas une ellipse non dégénérée.

Foyers confondus. Lorsque c = 0, les deux foyers se réduisent au centre. La condition devient deux fois la distance au centre égale à 2a : la courbe est un cercle de rayon a, cas particulier de l'ellipse.

Différence signée. Pour l'hyperbole, oublier la valeur absolue ne décrit qu'une branche selon l'ordre choisi entre les foyers. Il faut employer $\mid MF-M{F}^{\mathrm{\prime }}\mid =2a\backslash lvert\; MF-MF\text{'}\backslash rvert=2a$ pour réunir les deux branches.

La fiche ellipse replace la propriété bifocale parmi les autres descriptions et caractéristiques de cette courbe.

La fiche hyperbole développe la conique définie par une différence absolue constante des distances aux foyers.

La fiche conique situe ellipse et hyperbole dans leur famille géométrique commune.

L'article L'ellipse et ses différents attributs relie les foyers aux autres éléments remarquables de l'ellipse.