L'ellipse et ses différents attributs

Les coniques figurent parmi les objets géométriques les plus connus. Comment les construire à la règle et au compas ? Commençons avec l’ellipse. Le premier défi est la construction d’un point courant et de sa tangente.

Supposons que l’on connaisse les deux axes d’une ellipse. Pour faciliter le dessin (ce qui n’enlève rien à la généralité de la construction), le grand axe sera ici porté par l’axe des abscisses, le petit axe par celui des ordonnées ; le centre de l’ellipse sera le point O, origine du repère. Le problème est de construire un point courant d’abscisse donnée. On va utiliser le fait que l’ellipse est l’image, par affinité, du grand cercle (et également l’image, par une autre affinité, du petit cercle). Une affinité d’axe la droite (D), de direction le vecteur $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$ et de rapport le nombre réel non nul k l’application qui, à tout M du plan, associe le point M’ construit ainsi : par M, on mène la droite de direction $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$qui coupe (D) en H ; M’ est alors défini par $\overrightarrow{H{M}^{\mathrm{\prime }}}=k\overrightarrow{HM}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{HM\text{'}\}\; =\; k\; \backslash overrightarrow\{HM\}.$

Lorsque (D) et $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$ sont orthogonaux, l’affinité est elle-même qualifiée d’orthogonale.