Installons-nous dans le plan habituel utilisé en géométrie, le plan euclidien, et plaçons-y deux points distincts, O et I. Introduisons, comme il est de coutume, un repère orthonormé direct. Le plus simple est de baser ce repère sur nos deux points : O sera l’origine, et I sera le point de coordonnées (1, 0) ; cela définit complètement le repère. L’énigme que l’on se pose est de nature géométrique : à l’aide des seuls règle et compas, peut-on atteindre en un nombre fini de constructions tout point du plan ? La question semble ardue. Mais grâce à notre repère, on va pouvoir traduire le problème géométrique en un autre, portant sur les coordonnées des points, donc en un problème sur les nombres.
Pour ne pas perdre ses repères
La construction du repère ne pose aucune difficulté. À partir de O et I, on trace la droite (OI), puis la perpendiculaire à (OI) passant par O. On y place ensuite le point J tel que OI = OJ. Toutes ces étapes sont possibles avec la règle et le compas.
Les étapes, dans le détail, sont les suivantes : tracer la droite (OI) ; tracer le cercle C de centre O et de rayon OI (ce cercle coupe la droite (OI) en I’) ; tracer le cercle de centre I et de rayon II’, puis le cercle de centre I’ et de même rayon (ils se coupent en K) ; tracer la droite (OK) qui est la perpendiculaire à (OI) passant par O (elle coupe le cercle C en un point J). On prend alors comme repère orthonormé celui défini par le point O et les vecteurs et .
