Au début était le nombre ! Mais la découverte de l’irrationalité de amena les Grecs à réviser leur conception de la perfection rationnelle. Par un refus presque religieux de la mécanique, c’est-à-dire du mouvement, les mathématiciens grecs n’acceptaient dorénavant comme correctes que les constructions par droites et cercles, imprécisément, mais usuellement, qualifiées de constructions à la règle et au compas.
Ils se heurtent rapidement à trois problèmes devenus, du fait de leur complexité, historiques : la duplication du cube, la trisection de l’angle et la quadrature du cercle. Il faudra attendre le XIXe siècle pour comprendre, par l’algèbre, la raison de cette impossibilité. Mais dès l’Antiquité on utilise, pour résoudre ces problèmes, une construction par neusis, qui consiste à utiliser une règle graduée que l’on peut faire glisser et pivoter. Avec cette méthode non orthodoxe, on peut triséquer n’importe quel angle, dupliquer le cube, et construire les polygones réguliers de sept, neuf ou treize côtés, et leurs multiples par des puissances de 2, bien sûr. Les iconoclastes Dinostrate, Nicomède et Archimède n’hésitent pas, quant à eux, à utiliser le mouvement.
Une autre voie permet aussi de résoudre ces problèmes emblématiques : l’origami, art ancestral japonais du pliage de papier.
L’art de la mise en plis
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La mathématisation de la pratique de l’origami ne date que de la fin du XXe siècle. Tout comme Euclide a établi sa géométrie sur un certain nombre d’axiomes, la théorie de l’origami repose principalement sur six axiomes, connus sous le nom d’axiomes de Huzita-Hatori, mais découverts en 1986 par le mathématicien français Jacques Justin (1926-2020). Passons-les en revue de manière à saisir l’apport respectif de chaque axiome à la construction des points dans le plan.
