Il est impossible de construire un polygone à sept côtés, appelé heptagone, qui soit régulier avec uniquement la règle et le compas. Il en est de même pour la trisection de l'angle. Mais grâce à l'hyperbole, ces constructions deviennent possibles.
Beaucoup de figures sont constructibles à la règle et au compas (voir La géométrie de la règle et du compas, Bibliothèque Tangente n°78, POLE, 2022). Mais l'heptagone régulier est le plus petit polygone régulier qui ne le soit pas. Suite aux travaux d'Archimède, les mathématiciens arabes du siècle ont trouvé une construction à l'aide de coniques. De même, on sait, au moins depuis Pappus, au siècle, résoudre le problème de la trisection, c'est-à-dire diviser un angle en trois parties égales, avec une hyperbole.
Construction de « l'outil »
C'est l'hyperbole qui va nous servir d'outil pour ces constructions. Dans ce qui suit, on favorise l'hyperbole équilatère qui est aux hyperboles ce que le cercle est aux ellipses.
D'une manière générale, on considère que l'on sait construire une conique si on dispose de cinq points : la construction générale est donnée par le théorème de Pascal (voir page 15).
