Se, dopo aver tracciato alcune tangenti a una curva piana, ci si premura di cancellarla, l’occhio intuisce comunque la forma della curva originaria come inviluppo dell’insieme di tali rette. Il nostro cervello ha infatti risolto approssimativamente un problema di geometria differenziale che consiste nel determinare, nel caso generale, la curva, detta inviluppo, tangente a una famiglia di curve a un parametro λ, di equazione f (x, y, λ) = 0. Dal punto di vista analitico, si tratta di risolvere il sistema:
in cui la seconda equazione caratterizza il punto di tangenza. Nel caso di una famiglia di rette, il punto corrente dell’inviluppo appare allora come l’intersezione di due rette. Per le coniche, ampiamente studiate fin da Apollonio, la costruzione di una tangente è semplice, il che ne permette la realizzazione mediante piegatura.
Coniche cerchiate
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Le coniche, curve piane definite analiticamente da un’equazione di secondo grado, sono geometricamente le sezioni di una superficie di rivoluzione generata da una retta. Se questa retta passa per l’asse di rivoluzione, si ottiene un cono le cui sezioni, secondo l’orientamento del piano, producono un’ellisse, una parabola o un’iperbole. Se la retta è esterna all’asse e parallela a esso, si ha un cilindro, che può fornire soltanto ellissi, compresi i cerchi. Altrimenti si ha un iperboloide di rivoluzione a una falda, a forma di diabolo. Nei casi degeneri si ottengono una retta, due rette o un punto (vedi Tangente SUP 75, 2014).
In generale, una conica possiede due fuochi. Nel caso del cerchio essi coincidono e, per la parabola, uno dei due si perde all’infinito. Indichiamo con 2c la distanza fra i fuochi e con 2a la distanza fra i punti della conica sull’asse dei fuochi. Il parametro caratteristico delle coniche è l’eccentricità e = c / a. Per un’ellisse, 0 < e < 1. Per un’iperbole, e > 1. Per un cerchio, e = 0 e, per l’improbabile parabola, e = 1. Vediamo ora una costruzione generale delle coniche che permette di definire la tangente in ogni punto.
