Siamo riusciti a definire l’inviluppo di una famiglia di rette; questo oggetto matematico si presta a belle proprietà e figure geometriche. Perché non proseguire su questa strada e definire una nozione di inviluppo per famiglie di curve (C *t ) t*?
Una prima definizione, naturale, sarebbe: «Curva o retta tangente a tutte le curve C *t , per ogni numero reale t.» Una seconda definizione, più rigorosa, sarebbe: «Luogo dei punti caratteristici, ossia dei punti comuni alla curva C t e a una curva “infinitamente vicina” della famiglia, cioè a una curva C t*’ , in cui t’ è “infinitamente vicino” a t.» Si possono rendere compatibili questi due punti di vista?
Il caso delle rette ------------------
In realtà, le due definizioni proposte sono… «quasi» equivalenti. Vediamolo nel caso di una famiglia di rette (D*t ) t , di equazione generica a (t) x + b (t) y + c (t) = 0. Un numero reale «infinitamente vicino» a t si scrive t’ = t + dt, con dt «piccolo». L’unica regola di calcolo necessaria è f (t + dt) = f (t) + f ’(t) dt quando f* è una funzione derivabile.
La retta «infinitamente vicina» a D *t* ha equazione: