Sabemos definir la envolvente de una familia de rectas; este objeto matemático se presta a bellas propiedades y figuras geométricas. ¿Por qué no seguir por este camino y definir una noción de envolvente de familias de curvas (C *t ) t*?
Una primera definición, natural, sería: «Curva o recta tangente a todas las curvas C *t , para cada número real t.» Una segunda definición, más rigurosa, sería: «Lugar geométrico de los puntos característicos, es decir, los puntos comunes a la curva C t y a una curva “infinitamente próxima” de la familia, esto es, a una curva C t*’ , donde t’ es “infinitamente próximo” a t.» ¿Pueden compatibilizarse estos dos puntos de vista?
El caso de las rectas ------------------
En realidad, las dos definiciones propuestas son… «casi» equivalentes. Veámoslo en el caso de una familia de rectas (D*t ) t , de ecuación general a (t) x + b (t) y + c (t) = 0. Un número real «infinitamente próximo» a t se escribe t’ = t + dt, con dt «pequeño». La única regla de cálculo que necesitamos es f (t + dt) = f (t) + f ’(t) dt cuando f* es una función derivable.
La recta «infinitamente próxima» a D *t* tiene por ecuación: