Envolvente de familias de rectas
Cuando se considera una familia de rectas, a menudo existe una curva tangente a cada una de ellas: es la envolvente de esta familia. Su ecuación se calcula a partir del parametrizado de las rectas. ¡Qué placer para la vista ver estas figuras geométricas hechas de rectas hábilmente colocadas a lo largo de las cuales se enrosca una bonita curva que parece rozar cada una de ellas! Entre las curvas así construidas, que se pueden reconocer en los pliegues o en los tableaux de hilos tensados, encontramos ciertas figuras muy conocidas como las cónicas. Los rayos luminosos que se reflejan en una superficie también trazan bonitas curvas, llamadas cáusticas. Apasionado de la óptica y cercano a Leibniz, el conde de Tschirnhaus comprendió el interés del cálculo diferencial para estudiarlas. ¡Las evolutas de curvas, envolventes de las normales, también ofrecen una bella geometría!
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Reunión de familia
Es un placer para la vista contemplar ciertas figuras geométricas formadas por numerosas rectas hábilmente dispuestas, a lo largo de las cuales se entrelaza una bonita curva que parece rozarlas una a una. ¿Qué teoría matemática se oculta detrás? La de las envolventes de rectas.
Envolventes, punto móvil y evolutas
La noción de envolvente de rectas abarca dos ideas. La segunda se presta mejor al cálculo, pero ambas dan lugar a magníficas cuestiones geométricas.
Recta de Simson e hipocicloide de Steiner | Tangente
Esta bellísima propiedad geométrica era conocida por los alumnos franceses de segundo curso, grupo C, en los años setenta, aunque pocos sabían demostrarla.
Triángulos equiláteros a partir de un triángulo cualquiera | Tangente
Hay al menos dos maneras de asociar un triángulo equilátero a un triángulo T cualquiera; dicho de otro modo, de obtener, a partir de un triángulo que inicialmente no posee ninguna simetría, otro que posee el máximo de simetrías.
Los octógonos de Knuth
El matemático estadounidense Donald Knuth es el autor del sistema de composición tipográfica matemática TeX, basado en el uso de curvas de Bézier.
Envolventes por plegado
Toda curva regular es la envolvente de sus tangentes. En el caso de las cónicas, la construcción geométrica de estas rectas osculatrices es particularmente sencilla, lo que permite construirlas mediante plegado.
La envolvente de una familia de curvas
Definir con precisión la noción de envolvente de una familia de rectas es más sutil de lo que parece. Se advierte al intentar generalizar esta idea a una familia de curvas cualesquiera. El punto de vista introducido por René Thom permite sortear las dificultades.