Son curvas parametrizadas de la forma x = f (t ), y = g (t ) donde f y g son polinomios de grado 3 a trozos. Cualquier curva puede aproximarse mediante curvas de Bézier, de modo que la diferencia con la curva ideal resulte invisible a simple vista.
Una «e» en cursiva compuesta mediante veintiocho curvas de Bézier.
Uno de los problemas que se plantean es dibujar una curva de anchura constante 2r. Geométricamente, la solución es fácil: tomar una curva L y hacer que el centro de un círculo de radio 2r recorra esa curva. La superficie barrida por el círculo es la línea de anchura constante buscada.
Analíticamente, la cosa se complica. Si la línea central L de la línea gruesa está definida por las ecuaciones paramétricas x = f (t ) e y = g (t ), el contorno de la línea de grosor 2r es la envolvente de los círculos centrados en la línea central y de radio r.
Su expresión es de la forma:
Con la raíz cuadrada de un polinomio de grado 4 en el denominador, esto dista mucho de las curvas de Bézier. Para integrar las envolventes en el sistema, hay que recurrir de nuevo a una aproximación. La idea de Knuth consiste en sustituir el círculo por un octógono regular.
La diferencia es visualmente mínima. La gran ventaja es que el punto característico que describe la envolvente —cuando el centro del octógono recorre L— permanece fijo en uno de los vértices del octógono antes de pasar a otro. Durante un intervalo de tiempo en el que el punto característico permanece fijo, el cálculo de la envolvente es muy fácil: la envolvente se obtiene por traslación de la línea central L. Por tanto, la envolvente es, como L, una curva polinómica de grado 3 a trozos.
