Sono curve parametriche della forma x = f (t ), y = g (t ), dove f e g sono polinomi di terzo grado a tratti. Qualsiasi curva può essere approssimata con curve di Bézier in modo che la differenza rispetto alla curva ideale sia invisibile a occhio nudo.
Una «e» in corsivo composta con ventotto curve di Bézier.
Uno dei problemi consiste nel disegnare una curva di larghezza costante 2r. Dal punto di vista geometrico, la soluzione è semplice: basta prendere una curva L e far percorrere tale curva al centro di un cerchio di raggio 2r. La superficie spazzata dal cerchio è la linea di larghezza costante cercata.
Dal punto di vista analitico, è tutta un’altra storia. Se la linea centrale L della linea spessa è definita dalle equazioni parametriche x = f (t ) e y = g (t ), il contorno della linea di spessore 2r è l’inviluppo dei cerchi con centro sulla linea centrale e raggio r.
Ha un’espressione del tipo:
Con la radice quadrata di un polinomio di quarto grado al denominatore, siamo ben lontani dalle curve di Bézier. Per far «rientrare gli inviluppi nel sistema», occorre nuovamente approssimare. L’idea di Knuth è sostituire il cerchio con un ottagono regolare.
La differenza è visivamente minima. Il grande vantaggio è che il punto caratteristico che descrive l’inviluppo, quando il centro dell’ottagono percorre L, rimane fissato a uno dei vertici dell’ottagono prima di passare a un altro. In un intervallo di tempo durante il quale il punto caratteristico resta fisso, il calcolo dell’inviluppo è molto semplice: si tratta di una traslata della linea centrale L. L’inviluppo è dunque, come L, una curva polinomiale di terzo grado a tratti.
