Palle nel piano

Nel piano, una palla è l’insieme dei punti la cui distanza (nel senso dell’usuale distanza euclidea) da un centro assegnato è inferiore o uguale a una costante. In realtà, questa palla «abituale» non è affatto una «palla» nel senso inteso da un appassionato di gioco provenzale, da un giocatore di pétanque o da un campione di raffa-volo, bensì un disco. Inoltre, le palle relative a distanze qualsiasi possono avere forme molto più bizzarre (lo dimostra ampiamente l’articolo «Distanze talvolta sorprendenti» ). Restiamo però nel piano usuale e occupiamoci qui di distanze ottenute da una «norma» (vedi riquadro): la distanza tra due punti A e B del piano è definita come la norma del vettore $\overrightarrow{AB}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{AB\}.$

Alla ricerca di generalizzazioni --------------------------

Nel piano usuale, cioè in ℝ², munito di un sistema di riferimento ortonormale, la norma euclidea N₂ è definita da ${\text{N}}_2(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2{)}^{1\mathrm{/}2},\backslash text\{N\}\_2\; (x,\; y)\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}\; =\; (x^2\; +y^2)^\{1/2\},$ che rappresenta la distanza «in linea retta» dall’origine (0, 0) al punto di coordinate (x, y).

I matematici, alla ricerca di generalizzazioni, sostituirono il numero 2 con il numero reale strettamente positivo p e definirono N*_p ponendo N_p (x, y) = (x ^p +y ^p *)^1/*^p, espressione che conserva pienamente il proprio significato per qualunque p > 0 e per tutti i numeri reali x e y. Si verifica allora che N_p è effettivamente una norma… ma soltanto per p* ≥ 1.