Des boules dans le plan

Dans le plan, une boule est l’ensemble des points dont la distance (au sens de la distance euclidienne usuelle) à un centre donné est inférieure ou égale à une constante. Cette boule « habituelle » n’est en fait pas vraiment une « boule » au sens où l’entend un amateur de jeu provençal, un joueur de pétanque ou un champion de raffa-volo, mais un disque. En outre, les boules pour des distances quelconques peuvent avoir des formes bien plus saugrenues (l’article « Des distances parfois étonnantes » en atteste grandement). Mais restons dans le plan usuel et intéressons-nous ici à des distances issues d’une « norme » (voir encadré), la distance d’un point A à un point B du plan étant définie comme la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}\mathrm{.}\backslash overrightarrow\{AB\}.$

En quête de généralisation --------------------------

Dans le plan habituel, c’est-à-dire dans ℝ², muni d’un repère orthonormé, la norme euclidienne N₂ est définie par ${\text{N}}_2(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2{)}^{1\mathrm{/}2},\backslash text\{N\}\_2\; (x,\; y)\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}\; =\; (x^2\; +y^2)^\{1/2\},$ qui représente la distance « en ligne droite » de l’origine (0, 0) au point de coordonnées (x , y ) .

Les mathématiciens, en quête de généralisation, ont remplacé le nombre 2 par le réel strictement positif p et défini N*_p en posant N_p (x, y) = (x ^p +y ^p *)^1/*^p, expression qui conserve tout son sens quels que soient p > 0 et les réels x et y. On vérifie alors que N_p est bien une norme… mais seulement pour p* ≥ 1.