De la distance chez les fonctions
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Dès les travaux de Fréchet et Hausdorff introduisant les notions de distance et d’espace métrique (voir article « La genèse des espaces »), il était clair que ces notions s’appliqueraient à des espaces de fonctions. Ici aussi, comme on l’a vu pour le plan (dans l'article « Des boules dans le plan ») et l’espace (dans l'article « Des formes surprenantes dans l'espace »), les distances sont le plus souvent issues de normes. À partir de ces espaces étudiés par de nombreux mathématiciens, dont l’Allemand David Hilbert et le Hongrois Frigyes Riesz (1880–1956, à ne pas confondre avec son frère Marcel), on a abouti au concept d’espace de Banach, du nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892–1945) qui les a étudiés, avec d’autres, au début des années 1920.
Un espace de Banach est simplement un espace vectoriel muni d’une norme où, de manière similaire à ce qui se passe dans l’ensemble des nombres réels, il existe un critère relativement simple pour montrer qu’une suite d’éléments est convergente… sans nécessairement avoir à connaître la limite.
Quand les boules ressemblent à des tubes
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Une des normes les plus simples dans les espaces de Banach est définie sur un ensemble de fonctions continues à valeurs réelles. Prenons par exemple celles définies sur l’intervalle [0, 1]. Si l’on note E = C ([0, 1], ℝ) cet ensemble, on peut définir sur E le nombre positif suivant associé à tout élément f* de E :
