Le précédent article a permis de se rendre compte que la notion de « boule » donne naissance, déjà dans le plan, à des formes surprenantes. Qu’en est-il dans l’espace ?
Des boules qui grossissent… ---------------------------
Si p est un réel strictement positif, dans l’espace habituel, c’est-à-dire dans ℝ3, muni d’un repère orthonormé, on définit la norme N*p* du vecteur de ℝ3 de coordonnées (x, y, z) par Np(x,y,z)=(∣x∣p+∣y∣p+∣z∣p)1/p,\text{N}_p (x, y, z) = ( | x |^p + | y |^p + | z |^p ) ^{1/p}, exactement comme on le fait pour les vecteurs du plan (voir page 36). Cette opération permet ensuite de définir la distance associée à N*p*.
Comme dans le plan, N*p n’est une norme que pour p ≥ 1. Pour p = 2, on retrouve la distance euclidienne, pour laquelle le plus court chemin entre deux points est une ligne droite. Pour p = 1, la distance de l’origine O(0, 0, 0) au point de coordonnées (x, y, z*) est obtenue par un chemin formé de trois segments parallèles aux axes, généralisant la distance « Manhattan ».
La boule unité B*p(O, 1) de l’espace, ou plus simplement Bp, est définie de façon similaire à celle du plan ; elle a pour frontière* (« bord ») la surface d’équation ∣x∣p+∣y∣p+∣z∣p=1.| x |^p + | y |^p + | z |^p = 1.