cuboctaèdre tronqué

Imaginez un cube dont les coins et les arêtes sont coupés de manière coordonnée. La forme obtenue n'a plus seulement des faces carrées : elle présente aussi des hexagones et des octogones réguliers.

Le cuboctaèdre tronqué rassemble ainsi 26 faces. On peut y compter 12 carrés, 8 hexagones et 6 octogones, reliés par 72 arêtes autour de 48 sommets.

Le cuboctaèdre tronqué est un solide d'Archimède, donc un polyèdre semi-régulier convexe. Deux autres noms apparaissent pour le même objet : grand rhombicuboctaèdre convexe et cuboctaèdre rhombitronqué. Il peut être obtenu à partir d'un cube ou d'un octaèdre par une troncature simultanée de leurs arêtes et de leurs sommets. La coupe des sommets doit être prononcée.

Sa structure compte 26 faces réparties en trois familles : 12 carrés, 8 hexagones réguliers et 6 octogones réguliers. Ces faces se rencontrent le long de 72 arêtes et autour de 48 sommets. Une représentation par familles rend ce décompte visible sans remplacer la forme tridimensionnelle du solide.

Ses symétries comprennent 9 plans de symétrie et 13 axes de rotation. La convexité fait partie de sa définition : elle le sépare notamment du grand cuboctaèdre tronqué, aussi nommé cuboctaèdre cubitronqué, qui est étoilé.

On veut contrôler la cohérence du décompte annoncé. Les données sont 12 faces carrées, 8 faces hexagonales, 6 faces octogonales, 72 arêtes et 48 sommets.

1. Additionnez les trois familles de faces : 12 + 8 + 6 = 26 faces.

2. Soustrayez le nombre d'arêtes au nombre de sommets : 48 − 72 = −24.

3. Ajoutez le nombre de faces au résultat précédent : −24 + 26 = 2.

Le contrôle donne donc 48 − 72 + 26 = 2. Pour le refaire, recomptez d'abord les trois familles de faces, puis reprenez les deux opérations dans le même ordre. Ce contrôle vérifie la cohérence des trois totaux ; il ne suffit pas, à lui seul, à établir la régularité des faces ou les symétries du solide.

Devant un modèle de polyèdre, commencez par classer les faces selon leur forme. Le décompte 12 carrés, 8 hexagones réguliers et 6 octogones réguliers fournit un premier critère observable pour reconnaître le cuboctaèdre tronqué.

Pour contrôler une fiche technique ou un patron, confrontez ensuite les trois totaux : 48 sommets, 72 arêtes et 26 faces. Si l'un d'eux diffère, le modèle décrit n'a pas exactement la structure annoncée ici.

Pour choisir entre deux noms, vérifiez surtout la convexité. Le nom grand rhombicuboctaèdre convexe renvoie au solide présenté ici ; une forme étoilée appelle une autre identification.

Le grand cuboctaèdre tronqué, aussi appelé cuboctaèdre cubitronqué, est un polyèdre étoilé. Le cuboctaèdre tronqué étudié ici est au contraire convexe. Le critère qui tranche est donc la présence d'une structure étoilée : si elle apparaît, il ne s'agit pas du solide d'Archimède convexe décrit dans cette fiche.

Le mot « tronqué » ne signifie pas que n'importe quelle coupe d'un cube convient. La construction annoncée porte simultanément sur les arêtes et les sommets, avec une troncature prononcée aux sommets. Si la répartition finale n'est pas de 12 carrés, 8 hexagones réguliers et 6 octogones réguliers, le résultat n'est pas ce cuboctaèdre tronqué.

L'égalité 48 − 72 + 26 = 2 est un contrôle de cohérence des totaux, pas une identification complète. Un décompte compatible ne prouve ni que chaque hexagone et chaque octogone est régulier, ni que le polyèdre possède 9 plans de symétrie et 13 axes de rotation. Il faut vérifier séparément ces propriétés.

Enfin, les 9 plans de symétrie et les 13 axes de rotation sont deux décomptes de natures différentes. Les additionner ne produit aucune caractéristique pertinente du solide ; il faut conserver chaque famille de symétries séparément.

Le glossaire polyèdre permet de replacer faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides.

La fiche solide d'Archimède précise la famille à laquelle appartient le cuboctaèdre tronqué.

L'entrée Troncature prolonge le geste géométrique qui transforme le cube ou l'octaèdre.