cube tronqué

Imaginez que l'on coupe de la même façon les huit coins d'un cube. Chaque coin retiré laisse une face triangulaire. Dans le même temps, chacune des six faces carrées perd ses quatre angles et devient un octogone.

Avec une profondeur de coupe bien choisie, les 8 triangles sont équilatéraux et les 6 octogones sont réguliers. Le solide obtenu est le cube tronqué : ses 14 faces se rejoignent toujours par groupes de trois, avec un triangle entre deux octogones.

Le cube tronqué, ou hexaèdre tronqué, est le solide d'Archimède obtenu en coupant uniformément les huit sommets d'un cube. Les plans de coupe sont placés de sorte que toutes les arêtes restantes aient la même longueur. Les anciennes faces carrées deviennent alors 6 octogones réguliers, tandis que les 8 coupes donnent des triangles équilatéraux.

Notons a la longueur d'une arête du cube initial et t la distance entre un ancien sommet et un point de coupe, mesurée sur une arête. Une arête d'un triangle mesure t√2, alors que la partie conservée d'une ancienne arête mesure a − 2t. La régularité impose leur égalité : $a-2t=t\sqrt{2}a-2t=t\backslash sqrt\{2\}$, donc $t=\frac{a}{2+\sqrt{2}}t=\backslash frac\{a\}\{2+\backslash sqrt\{2\}\}$. Cette valeur est strictement inférieure à a/2.

Le solide possède 14 faces, 36 arêtes et 24 sommets de degré 3. Autour de chaque sommet se rencontrent exactement un triangle et deux octogones. Une coupe uniforme moins profonde ou plus profonde ne suffit donc pas, à elle seule, à produire ce solide semi-régulier. À la valeur limite t = a/2, les portions des anciennes arêtes disparaissent et le solide devient un cuboctaèdre.

La structure combine 8 faces triangulaires équilatérales, issues des sommets coupés, et 6 faces octogonales régulières, issues des faces du cube. Les 36 arêtes relient ces faces : chaque arête borde deux faces, et les 72 côtés comptés sur les faces donnent bien 8 × 3 + 6 × 8 = 72 = 2 × 36.

Les arêtes se rejoignent en 24 sommets. À chacun d'eux, un triangle touche deux octogones ; cette disposition impose un degré égal à 3. Les nombres de faces, d'arêtes et de sommets vérifient aussi 24 − 36 + 14 = 2. Taille, orientation et couleur ne changent pas cette organisation. En revanche, l'égalité des arêtes et la régularité des deux types de faces sont nécessaires pour reconnaître le solide d'Archimède.

On part d'un cube dont l'arête mesure exactement 2 + √2 cm. Sur chacune des trois arêtes qui arrivent à un sommet, le point de coupe est placé à 1 cm de ce sommet. Les mêmes données sont utilisées aux huit sommets.

1. Sur une face carrée, deux points de coupe voisins sont à 1 cm du même coin. Le segment qui les joint est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 1 cm. Sa longueur vaut donc √(1² + 1²) = √2 cm.
2. Sur une ancienne arête du cube, les deux coupes retirent chacune 1 cm. La partie conservée mesure (2 + √2) − 2 × 1 = √2 cm.
3. Les arêtes créées et conservées ont ainsi la même longueur, √2 cm. Les triangles sont équilatéraux et les octogones sont réguliers.

Le contrôle peut être refait sur les faces : 8 triangles apportent 24 côtés et 6 octogones en apportent 48. Le total de 72 côtés de faces correspond bien à 36 arêtes, puisque chaque arête appartient à deux faces.

Pour reconnaître un cube tronqué sur un dessin ou une maquette, on compte d'abord les types de faces. La présence de 8 triangles équilatéraux et de 6 octogones réguliers est le premier critère observable.

Pour contrôler la construction, on compare ensuite une arête triangulaire à la portion conservée d'une ancienne arête du cube. Si ces longueurs diffèrent, on a seulement un cube aux coins coupés, et non le solide d'Archimède régulier.

Enfin, on examine un sommet. Il doit réunir un triangle et deux octogones. Si les anciennes arêtes ont entièrement disparu et que des carrés remplacent les octogones, le modèle à retenir est le cuboctaèdre.

Le cuboctaèdre. Il apparaît lorsque chaque sommet du cube est coupé jusqu'au milieu des arêtes initiales. Les anciennes arêtes disparaissent alors : les faces héritées du cube sont des carrés, et non les octogones réguliers du cube tronqué. La présence de carrés tranche immédiatement entre les deux solides.

Couper à moins de la moitié ne suffit pas à garantir un cube tronqué régulier. Si la profondeur n'est pas la bonne, les côtés créés, de longueur t√2, diffèrent des segments conservés, de longueur a − 2t. Il faut choisir $t=\frac{a}{2+\sqrt{2}}t=\backslash frac\{a\}\{2+\backslash sqrt\{2\}\}$, une valeur elle-même inférieure à a/2, pour obtenir des faces régulières reliées par des arêtes égales.

Au seuil t = a/2, le type change. La longueur a − 2t devient nulle : les anciennes arêtes n'existent plus. Il ne faut plus compter six octogones, mais identifier le cuboctaèdre annoncé par les faces carrées restantes.

Des profondeurs de coupe différentes brisent l'uniformité. Des triangles ou des octogones de tailles inégales signalent que les huit sommets n'ont pas subi la même troncature. Le résultat peut rester un polyèdre, mais il ne possède plus la structure semi-régulière du cube tronqué.

Le glossaire solide d'Archimède replace le cube tronqué dans la famille de solides semi-réguliers à laquelle il appartient.

La fiche polyèdre donne le vocabulaire général des faces, arêtes et sommets utilisé pour décrire et contrôler cette structure.

La fiche Octogone approfondit la forme des six faces qui proviennent des faces carrées du cube initial.