octaèdre tronqué

Imaginez un octaèdre dont on coupe les six pointes de manière régulière. Chaque ancienne face triangulaire devient un hexagone, tandis qu'un carré apparaît à la place de chaque pointe. On obtient ainsi huit hexagones réguliers et six carrés.

Ce solide compte donc quatorze faces. Ses copies peuvent aussi remplir tout l'espace lorsqu'on les déplace sans les tourner : c'est le sens de sa propriété de paralléloèdre.

L'octaèdre tronqué est un polyèdre archimédien : ses faces sont des polygones réguliers, disposés de la même façon autour de chaque sommet. Il réunit huit hexagones réguliers et six carrés, soit quatorze faces. Ces faces se rencontrent le long de 36 arêtes et en 24 sommets.

Il s'obtient en tronquant régulièrement les six sommets d'un octaèdre. Les huit faces triangulaires initiales deviennent les huit hexagones ; les six sommets retirés laissent les six faces carrées. La régularité de la coupe est décisive : une coupe partielle menée jusqu'aux milieux des arêtes produit un cuboctaèdre, et non l'octaèdre tronqué régulier décrit ici.

Ce solide est aussi un paralléloèdre. Cela signifie que des copies identiques pavent l'espace par de simples translations, sans rotation ni changement d'échelle. Cette propriété de pavage complète sa description ; elle ne remplace pas les nombres de faces, d'arêtes et de sommets qui permettent de l'identifier.

Vérifions les 36 arêtes d'un octaèdre tronqué par un double comptage. Les données sont huit faces hexagonales, six faces carrées et 24 sommets. Un hexagone possède six côtés et un carré en possède quatre.

1. Compter les côtés portés par les huit hexagones donne 8 × 6 = 48 incidences entre une face et une arête.

2. Compter ceux des six carrés ajoute 6 × 4 = 24 incidences. Le total vaut donc 48 + 24 = 72.

3. Chaque arête appartient à deux faces. Les 72 incidences comptent donc chaque arête deux fois : 72 ÷ 2 = 36 arêtes.

Le contrôle d'Euler utilise les 24 sommets, les 36 arêtes et les 14 faces : 24 − 36 + 14 = 2. Le résultat attendu pour ce polyèdre est bien obtenu.

Pour identifier une maquette, on compte d'abord les types de faces. La présence de huit hexagones réguliers et de six carrés oriente vers l'octaèdre tronqué ; huit triangles et six carrés indiquent plutôt un cuboctaèdre.

Pour contrôler un dessin ou un modèle, on recompte les côtés de toutes les faces, puis on divise par deux. Si le modèle est censé représenter un octaèdre tronqué et que ce calcul ne donne pas 36 arêtes, une non-conformité reste à identifier dans l'assemblage, le comptage ou le modèle lui-même.

Pour étudier un pavage de l'espace, on vérifie que les cellules sont des copies identiques obtenues par translations. Si certaines doivent être tournées ou redimensionnées, ce n'est pas le pavage par translations affirmé par la propriété de paralléloèdre.

Avec l'octaèdre. L'octaèdre possède huit faces triangulaires. Après la troncature régulière, ces triangles deviennent huit hexagones et six carrés s'ajoutent : ce second solide est l'octaèdre tronqué.

Avec le cuboctaèdre. Les deux solides ont six faces carrées, mais le cuboctaèdre porte huit triangles là où l'octaèdre tronqué porte huit hexagones. La forme de ces huit faces tranche immédiatement.

Une coupe des pointes ne suffit pas toujours. Si la profondeur de coupe n'est pas celle qui rend régulières les nouvelles faces, on obtient bien un octaèdre tronqué au sens descriptif, mais pas le polyèdre archimédien régulier de cette fiche. Il faut alors examiner la forme et les côtés des faces.

Le cas charnière mène au cuboctaèdre. Lorsque la troncature atteint les milieux des arêtes de l'octaèdre, les faces restantes sont des triangles plutôt que des hexagones. Il faut alors nommer le solide cuboctaèdre.

Un dessin en perspective peut masquer des éléments. Compter seulement les faces visibles donne moins de quatorze faces et fausse l'identification. Le contrôle doit porter sur le solide entier, avec huit hexagones, six carrés, 24 sommets et 36 arêtes.

Paver par translations est une condition précise. Un assemblage qui laisse des vides ne vérifie pas la propriété, même si quelques faces coïncident. Il faut contrôler le remplissage complet de l'espace par des copies simplement translatées.

Le glossaire de l'octaèdre permet de repartir du solide avant la coupe et de suivre ce que la troncature transforme.

La fiche consacrée au solide d'Archimède replace l'octaèdre tronqué dans la famille définie par ses faces régulières et ses sommets équivalents.

La notion de polyèdre fournit enfin le vocabulaire général des faces, des arêtes et des sommets utilisé dans les comptages.