hexatétraèdre

Imaginez un solide dont on peut compter 14 faces : 8 ont six côtés et 6 en ont quatre. Les faces à quatre côtés sont des carrés. Les faces à six côtés ont toutes la même forme, mais ce ne sont pas des hexagones réguliers : leurs côtés alternent entre deux longueurs.

Ce solide à 24 sommets s'obtient aussi en décrivant un octaèdre dont les sommets ont été tronqués. Cette double lecture, par inventaire des faces ou par troncature, permet de reconnaître l'hexatétraèdre.

L'hexatétraèdre est une structure cristalline polyèdrique fermée possédant 24 sommets et 14 faces. Parmi ces faces, 8 sont des hexagones congruents, c'est-à-dire superposables, et 6 sont des carrés réguliers. Les hexagones ne sont pas réguliers, car tous leurs côtés n'ont pas la même longueur.

La lettre a désigne l'une des deux longueurs alternées sur le bord d'un hexagone. Trois côtés mesurent a et les trois autres mesurent a(√2 − 1), en alternance. Le nombre √2 − 1 vaut environ 0,414 : la seconde longueur est donc plus courte que la première. La source précise seulement que les faces carrées sont régulières ; elle ne donne pas ici la longueur de leur côté relativement à a.

Géométriquement, la structure se décrit comme un octaèdre tronqué à ses sommets. Elle ne doit pas être confondue avec le cuboctaèdre tronqué, qui est un polyèdre distinct. L'hexatétraèdre apparaît dans des empilements denses de sphères.

On veut contrôler que l'inventaire annoncé est compatible avec un polyèdre fermé. Les données sont 8 faces hexagonales, 6 faces carrées et 24 sommets. Chaque arête appartient au bord de deux faces.

1. Compter les côtés des faces : 8 × 6 + 6 × 4 = 72 incidences entre une face et une arête.

2. Diviser par 2, puisque chaque arête est comptée sur deux faces : le polyèdre possède 72 ÷ 2 = 36 arêtes.

3. Avec le nombre de sommets V, le nombre d'arêtes E et le nombre de faces F, contrôler la relation d'Euler : $V-E+F=24-36+14=2V-E+F=24-36+14=2$.

Le résultat est cohérent : les 14 faces conduisent bien à 36 arêtes, puis les trois effectifs donnent 2. Ce contrôle vérifie les nombres annoncés, mais pas à lui seul les longueurs alternées des côtés.

Dans l'étude d'un empilement dense de sphères, l'hexatétraèdre fournit une forme polyédrique à repérer. On contrôle d'abord l'inventaire caractéristique : 8 faces hexagonales, 6 faces carrées et 24 sommets.

Pour vérifier un dessin ou un modèle, le comptage des faces et la relation d'Euler fournissent un test nécessaire de cohérence combinatoire, mais ne suffisent pas à la prouver. Si la question porte sur la forme métrique, il faut aussi vérifier l'alternance des longueurs sur chaque hexagone et la régularité des carrés.

Avec un octaèdre non tronqué. L'octaèdre sert de forme de départ, mais la troncature de ses sommets produit la structure décrite. Un modèle montrant seulement les faces de l'octaèdre initial n'est donc pas l'hexatétraèdre à 14 faces.

Avec un polyèdre dont les huit hexagones seraient réguliers. Ici, les hexagones sont congruents mais leurs côtés alternent entre a et a(√2 − 1). L'égalité de toutes les longueurs ne correspond pas à la description donnée.

Ne pas confondre les deux polyèdres. Le cuboctaèdre tronqué n'est pas une autre appellation de cette structure : il possède 48 sommets et 26 faces. L'hexatétraèdre décrit ici compte 24 sommets et 14 faces.

Congruent ne signifie pas régulier. Les huit hexagones ont la même forme entre eux, mais chacun alterne trois côtés de longueur a et trois de longueur a(√2 − 1). Comme √2 − 1 ≈ 0,414, ces deux longueurs ne sont pas égales pour une longueur a strictement positive.

Le comptage ne prouve pas la métrique. Obtenir 36 arêtes et satisfaire la relation d'Euler fournit seulement une condition nécessaire de cohérence combinatoire, sans prouver à soi seul l'existence du polyèdre. Pour identifier complètement la structure décrite, il faut encore contrôler les longueurs alternées des hexagones et la régularité des carrés.

Octaèdre tronqué — Approfondir la construction géométrique obtenue en coupant les sommets d'un octaèdre.

Cuboctaèdre tronqué — Comparer l'hexatétraèdre avec ce polyèdre distinct, qui possède 48 sommets et 26 faces.

Polyèdre — Replacer faces, arêtes et sommets dans le vocabulaire général des solides polyédriques.