GéométrieNotion · Glossaire
Octogone
Un octogone est un polygone plan à huit côtés et huit angles. L'octogone régulier est celui dont tous les côtés sont égaux et tous les angles intérieurs sont égaux, chacun mesurant 135 degrés. Son aire peut être calculée à partir de la longueur de son côté. Il apparaît notamment dans l'architecture et la géométrie élémentaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un octogone à ses huit côtés.
- Distinguer un octogone quelconque d'un octogone régulier.
- Calculer le périmètre et l'aire d'un octogone régulier à partir de son côté.
- Éviter d'appliquer les formules régulières à une forme irrégulière ou concave.
En clair
Tracez huit segments de longueur non nulle bout à bout, puis reliez le dernier au premier de façon à obtenir un contour fermé simple, sans recroisement ni alignement de côtés consécutifs : ce contour forme un octogone. On peut donc le reconnaître en comptant ses huit côtés, sans supposer qu'ils ont la même longueur.
Dans un octogone régulier, la forme est équilibrée : les huit côtés sont égaux et les huit angles intérieurs aussi. Chacun de ces angles mesure 135°. Cette régularité rend possibles des calculs directs à partir d'une seule longueur de côté.
Définition
Un octogone est un polygone du plan délimité par huit côtés et possédant huit sommets, donc huit angles. Sa définition n'impose ni côtés égaux ni angles égaux. Lorsqu'il est simple, son contour ne se croise pas ; la somme de ses angles intérieurs vaut alors 1 080°.
Un octogone est régulier si ses huit côtés ont la même longueur et si ses huit angles intérieurs ont la même mesure. Chaque angle intérieur vaut alors 135°. Si la longueur commune des côtés est notée c, son périmètre vaut P = 8c.
L'aire A de l'octogone régulier se déduit aussi de la seule longueur c : . Cette propriété explique l'intérêt du cas régulier en géométrie élémentaire et dans les plans architecturaux qui emploient cette forme.
Un exemple, pas à pas
Un plan représente un octogone régulier dont chaque côté mesure 5 cm. On cherche son périmètre et son aire, puis on contrôle le résultat d'aire par une seconde décomposition.
Données
Le nombre de côtés est 8.
La longueur commune, notée c, vaut 5 cm.
Chaque angle intérieur mesure 135°.
Le nombre de côtés est 8.
La longueur commune, notée c, vaut 5 cm.
Chaque angle intérieur mesure 135°.
1. Le périmètre est P = 8 × 5 = 40 cm.
2. La formule d'aire donne .
3. En remplaçant c par 5, , soit environ 120,71 cm2.
2. La formule d'aire donne .
3. En remplaçant c par 5, , soit environ 120,71 cm2.
Contrôle. L'octogone s'inscrit dans un carré dont le côté mesure cm. L'aire du carré vaut environ 145,71 cm2. Les quatre triangles rectangles retirés ont ensemble une aire de 25 cm2. La différence, 145,71 − 25, redonne 120,71 cm2.
En pratique
Pour identifier la forme sur un dessin, on suit le contour fermé et l'on compte ses segments. Un contour fermé, simple et non dégénéré composé de huit segments indique un octogone ; si le contour possède une autre quantité de côtés, il faut employer le nom du polygone correspondant.
Dans un exercice de géométrie, si c désigne la longueur commune, la formule convient seulement si les huit côtés et les huit angles sont égaux. Sinon, on décompose l'octogone en figures dont on sait calculer l'aire.
Sur un plan d'architecture, le mot « octogonal » décrit une forme à huit côtés. Avant d'utiliser les formules du modèle régulier, on vérifie les longueurs et les angles indiqués ; un simple aspect symétrique ne suffit pas.
À ne pas confondre
Octogone et octogone régulier. Le premier doit seulement avoir huit côtés. Le second exige huit côtés égaux et huit angles égaux : un contour à huit côtés de longueurs différentes tranche immédiatement.
Octogone et prisme octogonal. L'octogone est une figure plane ; le prisme est un solide dont les deux bases sont octogonales. La présence d'une profondeur ou de faces latérales indique que l'on étudie le prisme.
Limites et pièges
Huit côtés ne signifient pas « régulier ». Si une seule longueur diffère, il n'existe pas de longueur commune c et la formule ne s'applique pas. Même avec huit côtés égaux, si les angles intérieurs ne sont pas tous égaux à 135°, l'octogone n'est pas régulier et la formule ne s'applique pas. Il faut utiliser les mesures réelles.
Un octogone simple peut être concave. Un angle intérieur supérieur à 180° signale un creux. La somme des angles intérieurs reste 1 080°, mais l'aire du modèle régulier ne convient pas ; une décomposition adaptée est nécessaire.
Attention aux arrondis. Pour un côté de 5 cm, l'aire exacte est cm2. Remplacer trop tôt √2 par 1,41 donne 120,5 cm2 au lieu d'environ 120,71 cm2 ; on arrondit donc à la dernière étape.
Pour aller plus loin
Les polygones réguliers — Pour situer l'octogone parmi les figures dont côtés et angles sont tous égaux.
Diagonale — Pour étudier les segments qui relient deux sommets non consécutifs d'un octogone.
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