AlgèbreNotion · Glossaire
Diagonale
Dans une matrice carrée d'ordre n, la diagonale principale est la suite des éléments () pour i allant de 1 à n. Une matrice diagonale est une matrice dont tous les termes hors de la diagonale principale sont nuls. La trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux. En géométrie, la diagonale d'un polygone est un segment reliant deux sommets non consécutifs. La diagonalisation d'une matrice consiste à trouver une base de vecteurs propres dans laquelle elle est diagonale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer la diagonale principale d’une matrice carrée.
- Vérifier qu’une matrice est diagonale et calculer sa trace.
- Distinguer le sens matriciel du sens géométrique.
- Relier la diagonalisation à l’existence d’une base de vecteurs propres.
En clair
Dans une grille carrée de nombres, suivez les cases qui descendent du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Elles forment la diagonale principale. Avec 4, −2 et 5 dans ces cases, leur somme vaut 7 : c’est la trace de la matrice.
Si toutes les autres cases contiennent zéro, la matrice est diagonale. En géométrie, le même mot désigne un segment qui traverse un polygone entre deux sommets non voisins, au lieu de suivre un côté.
Définition
Une matrice carrée d’ordre n possède autant de lignes que de colonnes. Si l’élément situé sur la ligne i et la colonne j est noté , sa diagonale principale réunit les éléments dont les deux indices sont égaux : . Une matrice est diagonale lorsque chaque élément situé hors de cette diagonale est nul, autrement dit lorsque . Les éléments diagonaux, eux, peuvent être nuls ou non.
La trace additionne uniquement les éléments de la diagonale principale. Pour une matrice nommée A, elle s’écrit . Diagonale principale et trace sont donc liées, mais la première est une suite d’éléments tandis que la seconde est un nombre.
En géométrie, une diagonale d’un polygone relie deux sommets non consécutifs. En algèbre linéaire, diagonaliser une matrice signifie trouver, sur le corps de scalaires considéré, une base formée de vecteurs propres dans laquelle la matrice devient diagonale. Cette base n’existe pas pour toute matrice carrée.
Un exemple, pas à pas
Considérons une matrice carrée A d’ordre 3. Ses trois éléments diagonaux sont 4, −2 et 5. Ses six autres éléments sont nuls. La matrice est donc entièrement déterminée :
1. Repérez les positions dont le numéro de ligne égale le numéro de colonne : (1, 1), (2, 2) et (3, 3).
2. Lisez les valeurs correspondantes, dans cet ordre : 4, −2 et 5.
3. Vérifiez les six positions restantes : chacune contient 0, donc A est diagonale.
4. Additionnez les trois valeurs repérées pour obtenir la trace.
2. Lisez les valeurs correspondantes, dans cet ordre : 4, −2 et 5.
3. Vérifiez les six positions restantes : chacune contient 0, donc A est diagonale.
4. Additionnez les trois valeurs repérées pour obtenir la trace.
Le résultat est le nombre exact 7. Pour le contrôler, additionnez d’abord 4 et 5, soit 9, puis retranchez 2 : vous retrouvez 7.
En pratique
Pour lire rapidement une matrice carrée, repérez les positions où le numéro de ligne égale celui de la colonne. Si vous cherchez toutes les valeurs de la diagonale, conservez cette suite plutôt que de les additionner.
Si vous cherchez un seul nombre qui résume cette diagonale, calculez la trace. Dans la matrice de l’exemple, vous additionnez 4, −2 et 5, et non les neuf éléments sans distinction.
Pour reconnaître une matrice diagonale, inspectez au contraire toutes les cases hors diagonale. Un seul terme non nul à l’une de ces positions suffit à préférer l’expression « matrice carrée avec une diagonale principale » à « matrice diagonale ».
Dans un polygone, regardez les extrémités du segment. Deux sommets voisins forment un côté ; deux sommets non consécutifs forment une diagonale.
À ne pas confondre
Diagonale d’une matrice et matrice diagonale. Toute matrice carrée possède une diagonale principale. Elle n’est diagonale que si tous ses termes hors diagonale sont nuls ; un seul terme non nul suffit à trancher.
Diagonale et trace. La diagonale principale de A est la suite 4, −2, 5. Sa trace est le nombre 7 obtenu en additionnant cette suite.
Diagonale et côté d’un polygone. Un côté joint deux sommets consécutifs sur le contour. Une diagonale joint deux sommets non consécutifs et passe par l’intérieur du polygone dans le cas convexe usuel.
Limites et pièges
Ordre 1. Une matrice 1 × 1 ne contient aucun terme hors diagonale. Elle est donc automatiquement diagonale, et sa trace est son unique élément.
Matrice non carrée. On peut y repérer des positions où les indices sont égaux, mais la définition donnée ici porte sur une matrice carrée d’ordre n. Vérifiez donc d’abord que le nombre de lignes égale le nombre de colonnes.
Triangle. Avec exactement trois sommets, chaque paire de sommets est consécutive. Un triangle ne possède donc aucune diagonale ; il faut au moins quatre sommets pour en tracer une.
Diagonalisation impossible. Une matrice carrée n’est pas nécessairement diagonalisable sur le corps de scalaires considéré. Si ses vecteurs propres ne permettent pas de former une base complète, il faut conserver une autre représentation plutôt que prétendre obtenir une matrice diagonale.
Pour aller plus loin
Vecteur propre. Voyez pourquoi une base de vecteurs propres rend possible la diagonalisation.
algèbre linéaire. Replacez matrices, bases et vecteurs propres dans leur cadre commun.
Losange. Prolongez le sens géométrique de la diagonale sur un quadrilatère particulier.
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