matrice antisymétrique

Regardez une grille carrée de nombres séparée par sa diagonale. Si un 2 apparaît au-dessus de cette diagonale, la case en miroir contient −2. Si une case porte −1, sa jumelle porte 1. Sur la diagonale, chaque nombre devrait être l’opposé de lui-même : sur les nombres réels, il ne peut donc s’agir que de 0.

Une matrice qui suit partout ce jeu de miroir et de changement de signe est antisymétrique. Une moitié de la grille détermine ainsi l’autre moitié.

Une matrice antisymétrique, aussi appelée matrice alternée dans ce contexte, est une matrice carrée. Notons A cette matrice et A^T sa transposée, obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. La condition qui définit l’objet est $A^{\mathsf{T}}=-AA^\{\backslash mathsf\; T\}=-A$.

Si a_ij désigne le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j, cette égalité signifie $a_{ij}=-a_{ji}a\_\{ij\}=-a\_\{ji\}$ pour chaque paire d’indices. Sur les nombres réels, le coefficient diagonal a_ii est donc nul. Les coefficients placés d’un côté de la diagonale peuvent être choisis librement ; ceux de l’autre côté sont alors imposés avec le signe opposé. L’ensemble des matrices antisymétriques réelles d’ordre n est ainsi un espace vectoriel de dimension n(n − 1)/2.

La matrice A associe aussi aux vecteurs x et y une forme bilinéaire B. Son antisymétrie s’écrit B(x, y) = −B(y, x). Ces matrices interviennent notamment dans les rotations infinitésimales, en géométrie différentielle, en mécanique des milieux continus et en physique théorique. Elles constituent l’algèbre de Lie du groupe orthogonal.

Quatre éléments organisent une matrice antisymétrique réelle. Son ordre n fixe une grille carrée de n lignes et n colonnes. Sa diagonale principale contient n zéros. Les coefficients situés au-dessus de la diagonale forment n(n − 1)/2 positions libres. Enfin, chaque position située au-dessous dépend de sa position miroir : elle reçoit le coefficient opposé.

L’ordre détermine donc à la fois la taille de la grille et le nombre de coefficients indépendants. Le choix d’une moitié détermine l’autre, tandis que la diagonale ne demande aucun choix. Pour l’ordre 3, les trois valeurs a₁₂, a₁₃ et a₂₃ suffisent à construire les neuf cases. La taille d’affichage ou la couleur des cases ne joue aucun rôle dans cette définition.

Construisons une matrice A d’ordre 3. Les données choisies au-dessus de la diagonale sont a₁₂ = 2, a₁₃ = −1 et a₂₃ = 3.

1. Plaçons trois zéros sur la diagonale, puisque a₁₁, a₂₂ et a₃₃ doivent être leurs propres opposés.

2. Complétons les positions en miroir : a₂₁ = −2, a₃₁ = 1 et a₃₂ = −3. La matrice obtenue est .

3. Transposons A en échangeant lignes et colonnes : . Le critère est vérifié.

Le contrôle peut se refaire paire par paire : 2 et −2, −1 et 1, puis 3 et −3. Les positions en miroir portent toujours des valeurs opposées, et les trois cases diagonales restent nulles.

Pour vérifier une matrice, on commence par s’assurer qu’elle est carrée. On compare ensuite chaque coefficient à celui placé de l’autre côté de la diagonale. Si les signes ne sont pas opposés partout, le qualificatif antisymétrique ne convient pas.

Pour construire une matrice antisymétrique réelle, on choisit seulement les coefficients au-dessus de la diagonale. On place leurs opposés sous la diagonale, puis des zéros sur celle-ci. Ce procédé évite de choisir séparément des valeurs qui devraient dépendre les unes des autres.

En géométrie différentielle et en physique, cette structure sert à décrire des rotations infinitésimales. Le critère A^T = −A signale alors un élément de l’algèbre de Lie du groupe orthogonal, plutôt qu’une transformation orthogonale déjà effectuée.

Une matrice symétrique vérifie A^T = A, sans changement de signe. Ainsi, la matrice de lignes (0, 2) et (2, 0) est symétrique, tandis que celle de lignes (0, 2) et (−2, 0) est antisymétrique. Le signe de la valeur miroir tranche.

Une matrice orthogonale vérifie Q^TQ = I, où I désigne la matrice identité. Une matrice antisymétrique vérifie une autre égalité, A^T = −A. Les deux propriétés peuvent exceptionnellement coexister, mais aucune ne remplace le test de l’autre.

Une diagonale nulle ne suffit pas. La matrice de lignes (0, 1) et (2, 0) a bien deux zéros diagonaux, mais 1 n’est pas l’opposé de 2. Il faut contrôler toutes les paires de positions en miroir.

La déduction a_ii = 0 utilise le cadre réel de la fiche. Sur un corps de caractéristique 2, un nombre et son opposé coïncident ; l’égalité A^T = −A ne force alors plus la diagonale à s’annuler. Pour parler d’une forme alternée dans ce cadre, la nullité sur la diagonale doit être exigée séparément.

À ordre réel impair, une matrice antisymétrique a un déterminant nul. En effet, transposer ne change pas le déterminant, tandis que remplacer A par −A le multiplie par (−1)ⁿ. Pour n impair, le déterminant est donc son propre opposé. La matrice d’ordre 3 de l’exemple n’est pas inversible.

La Transposée détaille l’échange des lignes et des colonnes qui intervient dans le critère A^T = −A.

La forme bilinéaire précise le cadre dans lequel l’échange de x et y change le signe de B(x, y).

L’algèbre de Lie prolonge le lien entre matrices antisymétriques et transformations infinitésimales.

Le Groupe orthogonal situe le groupe dont les matrices antisymétriques réelles forment l’algèbre de Lie.