AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
transposition d'une matrice
La transposée d'une matrice s'obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes : chaque coefficient placé ligne i, colonne j passe ligne j, colonne i, sans changer de valeur. Ainsi, une matrice à n lignes et p colonnes devient une matrice à p lignes et n colonnes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une transposée en transformant chaque ligne en colonne.
- Vérifier les dimensions et la nouvelle position d'un coefficient.
- Appliquer les identités de transposition à une somme et à un produit.
- Distinguer transposée, inverse, opposée, symétrie et antisymétrie.
En clair
Imaginez un casier rectangulaire dont chaque nombre occupe une case. Transposer ce casier revient à faire de sa première ligne une première colonne, de sa deuxième ligne une deuxième colonne, et ainsi de suite. Chaque nombre reste le même ; seule son adresse change.
Une matrice de deux lignes et trois colonnes devient donc une matrice de trois lignes et deux colonnes. Le nombre placé à la ligne 1, colonne 3 se retrouve à la ligne 3, colonne 1.
Définition
Soit une matrice M comportant n lignes et p colonnes. Sa transposée, notée MT ou t(M), est la matrice à p lignes et n colonnes obtenue en échangeant les deux indices de chaque coefficient. Si mij désigne le coefficient de M situé à la ligne i et à la colonne j, alors le coefficient de MT situé à la ligne i et à la colonne j est celui qui occupait la ligne j et la colonne i dans M.
La transposition est une opération involutive : transposer deux fois rend la matrice initiale. Elle se distribue sur l'addition de deux matrices de mêmes dimensions. Pour un produit défini de matrices M et N, elle inverse l'ordre des facteurs.
Ces identités valent pour des matrices à coefficients dans un cadre où l'addition et la multiplication matricielles sont définies. Une matrice carrée est symétrique lorsqu'elle est égale à sa transposée. Elle est antisymétrique lorsqu'elle est égale à l'opposé de sa transposée.
De quoi c'est fait
Quatre données organisent une transposition. Les coefficients sont les valeurs conservées. Les lignes et les colonnes donnent leur position, tandis que les deux indices repèrent respectivement une ligne puis une colonne. Transposer échange les rôles de ces indices sans modifier les coefficients.
Les dimensions dépendent directement de cet échange : n lignes et p colonnes deviennent p lignes et n colonnes. De même, toute la ligne i de la matrice initiale devient la colonne i de la transposée. La diagonale principale, formée des coefficients dont les deux indices sont égaux, reste en place lorsqu'elle existe.
Ces règles suffisent à construire la transposée case par case. La forme carrée n'est pas nécessaire pour transposer ; elle devient seulement indispensable lorsqu'on veut comparer directement une matrice à sa propre transposée.
Un exemple, pas à pas
Prenons une matrice A de deux lignes et trois colonnes. Ses données, lues ligne par ligne, sont 2, −1 et 4, puis 0, 3 et 5. La transformation visuelle conserve ces six valeurs et montre que chaque ligne devient une colonne.
1. La première ligne, composée de 2, −1 et 4, devient la première colonne.
2. La seconde ligne, composée de 0, 3 et 5, devient la seconde colonne.
3. Les trois colonnes obtenues donnent une matrice de trois lignes et deux colonnes.
2. La seconde ligne, composée de 0, 3 et 5, devient la seconde colonne.
3. Les trois colonnes obtenues donnent une matrice de trois lignes et deux colonnes.
Le contrôle se refait sur une case : le 4 situé en ligne 1, colonne 3 de A apparaît bien en ligne 3, colonne 1 de AT. En transposant encore cette matrice 3 × 2, on retrouve exactement A.
En pratique
Dans un tableau de données, la transposition échange ce qui est rangé par lignes et par colonnes. On l'emploie lorsque le calcul ou le logiciel attendu demande les observations en colonnes plutôt qu'en lignes, ou inversement.
Dans un produit matriciel, transposer aide à réécrire le résultat dans l'orientation opposée. Le geste fiable consiste à inverser aussi l'ordre des facteurs : la transposée de MN est NTMT, et non MTNT.
Pour tester une matrice carrée, on compare les coefficients placés de part et d'autre de la diagonale. Des valeurs égales aux positions échangées indiquent une matrice symétrique ; des valeurs opposées indiquent une matrice antisymétrique.
À ne pas confondre
La transposition se distingue d'autres opérations qui peuvent produire une matrice de même taille, mais ne déplacent pas les coefficients selon la même règle.
Transposée et matrice inverse
La transposée échange lignes et colonnes et existe pour toute matrice, même rectangulaire. L'inverse, noté A−1, n'existe que pour certaines matrices carrées et vérifie AA−1 = I. Pour la matrice A de l'exemple, rectangulaire, AT existe mais A−1 n'est pas définie.
Transposée et opposée
L'opposée −A change le signe de chaque coefficient sans le déplacer. La transposée AT déplace chaque coefficient sans changer sa valeur. Dans l'exemple, le 4 reste 4 dans AT, tandis qu'il deviendrait −4 dans −A.
Limites et pièges
La règle est simple, mais trois raccourcis produisent souvent une matrice fausse.
Une matrice rectangulaire change de dimensions
Une matrice 2 × 3 ne peut pas avoir une transposée 2 × 3 : elle devient 3 × 2. Si la forme n'a pas changé, il faut recompter les lignes et les colonnes avant de placer les valeurs.
Le produit impose un ordre inversé
Écrire la transposée d'un produit dans le même ordre est en général incorrect, et le produit obtenu peut même être impossible à former. Il faut transposer chaque facteur puis écrire NTMT.
Symétrique et antisymétrique exigent une matrice carrée
Comparer M et MT coefficient par coefficient suppose qu'elles aient les mêmes dimensions, donc que M soit carrée. Dans le cas antisymétrique sur les nombres réels, chaque coefficient diagonal vérifie mii = −mii et vaut donc 0.
Pour aller plus loin
La transposition prend tout son sens dans l'algèbre linéaire, où matrices et applications linéaires décrivent une même structure sous des présentations complémentaires.
L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire replace les matrices dans le langage des applications linéaires.
L'article Des matrices et des graphes en comptabilité donne un contexte où l'organisation matricielle encode des relations concrètes.
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