AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Groupe orthogonal
Le groupe orthogonal O(n) est le groupe des matrices réelles carrées d'ordre n dont la transposée est égale à l'inverse, c'est-à-dire les matrices M telles que M^T * M = I. Ces matrices préservent le produit scalaire euclidien standard et correspondent aux isométries linéaires orthogonales de R^n, dont les rotations et les réflexions sont des exemples. Le groupe spécial orthogonal SO(n) est le sous-groupe des matrices orthogonales de déterminant 1 : ses éléments conservent l'orientation. En dimensions 2 et 3, SO(2) est le groupe des rotations du plan et SO(3) celui de l'espace ; en dimension supérieure, un élément peut combiner des rotations dans plusieurs plans orthogonaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tester l’appartenance d’une matrice à O(n) avec MᵀM = I.
- Distinguer O(n) de SO(n) par le déterminant et l’orientation.
- Vérifier pas à pas qu’une matrice réalise une rotation de 90° du plan.
- Éviter les faux critères liés au seul déterminant ou aux coefficients arrondis.
En clair
Imaginez une flèche tracée sur une feuille. Vous pouvez la faire tourner d’un quart de tour ou la réfléchir comme dans un miroir : sa longueur ne change pas, et les angles avec les autres flèches restent les mêmes.
Une matrice orthogonale décrit précisément un tel déplacement linéaire. Toutes ces matrices de taille n forment O(n). Celles qui conservent aussi l’orientation forment SO(n) : dans le plan et l’espace à trois dimensions, ce sont les rotations ; au-delà, elles peuvent combiner des rotations dans plusieurs plans orthogonaux.
Définition
Soit n la dimension de l’espace euclidien réel. Le groupe orthogonal O(n) réunit les matrices réelles carrées M de taille n dont la transposée MT vérifie
, où In est la matrice identité. Cette égalité signifie aussi que l’inverse de M est sa transposée.
Une telle matrice conserve le produit scalaire euclidien standard. Elle conserve donc les longueurs et les angles : elle représente une isométrie linéaire de ℝn. Ses colonnes forment une base orthonormée. La matrice identité, le produit de deux matrices orthogonales et l’inverse d’une matrice orthogonale appartiennent encore à O(n), ce qui explique le mot « groupe ».
En prenant les déterminants dans l’égalité MTM = In, on obtient det(M) = 1 ou det(M) = −1. Le groupe spécial orthogonal SO(n) est la partie de O(n) où det(M) = 1. Ses éléments sont les isométries linéaires orthogonales qui conservent l’orientation ; SO(2) décrit les rotations du plan et SO(3) celles de l’espace. En dimension supérieure, un élément peut combiner des rotations dans plusieurs plans orthogonaux. Les éléments de déterminant −1 renversent l’orientation et incluent les réflexions.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la définition. La matrice réelle carrée M agit sur les coordonnées dans ℝn. Sa transposée MT échange lignes et colonnes. La matrice identité In sert de résultat au test MTM = In. Enfin, le déterminant précise si l’orientation est conservée.
Le produit MTM rassemble les produits scalaires entre les colonnes de M. Son égalité avec In impose des colonnes de longueur 1, deux à deux orthogonales ; elle suffit à reconnaître un élément de O(n). Le déterminant ne sépare qu’ensuite les deux possibilités : +1 pour SO(n), −1 pour l’autre composante de O(n). Ces relations définissent la structure, indépendamment de la manière dont une rotation ou une réflexion est dessinée.
Un exemple, pas à pas
Considérons dans le plan la matrice M qui envoie le vecteur u de coordonnées (2, 1) sur un nouveau vecteur. Les données sont les quatre coefficients de M, les deux coordonnées de u et la matrice identité I2.
1. Transposez M : .
2. Multipliez : . M appartient donc à O(2).
3. Calculez son déterminant : det(M) = 0 × 0 − (−1 × 1) = 1. M appartient donc à SO(2).
4. Appliquez M au vecteur : .
Le résultat est une rotation de 90° dans le sens antihoraire : (2, 1) devient (−1, 2). Le contrôle se refait sans dessin : la longueur au carré vaut 22 + 12 = 5 avant la transformation, puis (−1)2 + 22 = 5 après.
En pratique
Pour contrôler une transformation donnée par une matrice, calculez MTM. Si le résultat est l’identité, la transformation conserve longueurs et angles ; sinon, il faut la traiter comme une transformation linéaire générale.
Pour classer une isométrie linéaire, calculez ensuite son déterminant. La valeur +1 place la matrice dans SO(n) et signale une orientation conservée. La valeur −1 la laisse dans O(n), mais hors de SO(n), avec une orientation renversée.
Pour faire tourner ou réfléchir des coordonnées sans les étirer, multipliez les vecteurs par une matrice orthogonale. Si l’objectif est au contraire d’agrandir dans une direction, une matrice non orthogonale est nécessaire.
À ne pas confondre
Matrice orthogonale et vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Une matrice est orthogonale lorsque toutes ses colonnes ont en plus une longueur égale à 1 et vérifient ensemble MTM = I.
O(n) et SO(n). O(n) accepte les deux valeurs possibles du déterminant, +1 et −1. SO(n) ne garde que la valeur +1. La réflexion par rapport à un axe du plan appartient à O(2), mais pas à SO(2).
Matrice orthogonale et matrice symétrique. Une matrice symétrique vérifie MT = M ; une matrice orthogonale vérifie MT = M−1. La rotation de 90° de l’exemple est orthogonale, mais elle n’est pas symétrique.
Limites et pièges
Le cas n = 1. O(1) ne contient que les matrices réduites aux nombres 1 et −1, tandis que SO(1) ne contient que 1. Chercher une rotation non triviale sur une droite conduit donc à une fausse piste.
Le déterminant 1 ne suffit pas. La matrice diagonale de coefficients 2 et 1/2 a un déterminant égal à 1, mais elle étire un axe et contracte l’autre. Son produit MTM n’est pas l’identité : le test orthogonal doit toujours précéder le classement dans SO(n).
Des coefficients arrondis peuvent tromper. Une matrice calculée avec des décimales approchées peut donner un produit MTM presque égal à In, sans lui être exactement égal. Il faut distinguer l’appartenance mathématique exacte d’un contrôle numérique effectué avec une tolérance annoncée.
Pour aller plus loin
La fiche matrice orthogonale détaille l’objet matriciel qui constitue chaque élément de O(n).
La fiche produit scalaire précise la quantité que toute matrice orthogonale conserve.
La fiche Réflexion approfondit les isométries orthogonales qui renversent l’orientation.
L’article Les isométries du plan replace rotations et réflexions dans leur cadre géométrique commun.
La fiche groupe de Lie ouvre sur la structure continue à laquelle appartiennent O(n) et SO(n).
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