Renversement (dans un espace vectoriel)
Dans un espace vectoriel, le renversement d'une suite ou d'un vecteur est l'opération consistant à inverser l'ordre des coordonnées. Pour une matrice, le renversement peut désigner la transposition ou d'autres opérations de réarrangement des éléments. Dans le contexte des séries et polynômes, le renversement d'un polynôme P de degré n est le polynôme Q tel que Q(x) = x^n P(1/x), dont les coefficients sont ceux de P lus dans l'ordre inverse. Cette opération intervient dans l'étude des polynômes réciproques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le renversement d'une liste de coordonnées dans une base ordonnée.
- Calculer le polynôme renversé à partir de ses coefficients.
- Contrôler un renversement en appliquant l'opération une seconde fois.
- Distinguer renversement d'ordre, transposition matricielle, inverse multiplicatif et symétrie orthogonale.
En clair
Écrivons quatre nombres dans des cases : 2, −1, 4, 3. Les lire de la dernière case vers la première donne 3, 4, −1, 2. Ce geste est un renversement d'ordre : les valeurs ne changent pas, mais leurs positions s'échangent deux à deux.
Le même geste s'applique aux coordonnées d'un vecteur une fois leur ordre fixé. Il s'applique aussi aux coefficients d'un polynôme : le coefficient constant et le coefficient de plus haut degré échangent leurs rôles.
Définition
Dans un espace vectoriel de dimension finie, renverser les coordonnées exige d'avoir choisi une base ordonnée. Notons cette base B = (e₁, …, en) et les coordonnées d'un vecteur v dans B par (x₁, …, xn). Le renversement relatif à B, noté RB, remplace ce tuple par (xn, …, x₁). Il est linéaire et l'appliquer deux fois redonne v. Ce n'est donc pas une transformation intrinsèque de l'espace : changer l'ordre de la base peut changer RB.
Pour un polynôme P de degré n, son renversé Q est défini par :
Si les coefficients de P sont lus du plus haut degré au terme constant, ceux de Q apparaissent dans l'ordre opposé. Pour une matrice, le mot « renversement » n'impose pas à lui seul une opération universelle : il faut préciser s'il s'agit de transposer la matrice, d'inverser l'ordre des lignes, celui des colonnes ou les deux.
De quoi c'est fait
Un renversement d'ordre repose sur quatre données. Le support ordonné indique les places disponibles. Les valeurs occupent ces places sans être modifiées. La règle de correspondance envoie la première place sur la dernière, la deuxième sur l'avant-dernière, et ainsi de suite. Le résultat conserve donc le même nombre de valeurs.
L'ordre du support détermine la règle, tandis que la règle détermine la nouvelle place de chaque valeur. Dans un vecteur, ce support vient d'une base ordonnée. Dans un polynôme, il vient des puissances successives de la variable, du terme constant au terme de degré n. Ces données suffisent à construire le renversé et à contrôler le résultat en renouvelant l'opération.
Un exemple, pas à pas
Prenons le polynôme P dont les coefficients, du degré 3 au terme constant, sont 2, −1, 4 et 3. Le schéma suit la place de chacun de ces quatre coefficients pendant le renversement.
Données.
Degré de P : 3.
Coefficient de x³ : 2.
Coefficient de x² : −1.
Coefficient de x : 4.
Terme constant : 3.
Degré de P : 3.
Coefficient de x³ : 2.
Coefficient de x² : −1.
Coefficient de x : 4.
Terme constant : 3.
Étape 1. Écrivons P puis remplaçons la variable x par 1/x dans son expression.
Étape 2. Multiplions P(1/x) par x³. Les puissances négatives disparaissent et donnent le polynôme Q.
Résultat. Les coefficients de Q, du degré 3 au terme constant, sont 3, 4, −1 et 2 : c'est bien la liste initiale lue en sens inverse. Contrôle. Renverser cette nouvelle liste redonne 2, −1, 4, 3, les coefficients de P.
En pratique
Pour une suite finie stockée dans un ordre précis, le renversement sert à comparer la lecture directe et la lecture à rebours. Si l'ordre des termes n'a pas de sens, une permutation quelconque est une description plus honnête.
Pour un polynôme, on renverse les coefficients lorsqu'on veut étudier son polynôme réciproque. Le bon repère est le degré annoncé : le facteur xn est choisi avec ce degré n.
Pour une matrice, il faut d'abord nommer le geste recherché. Si l'on veut échanger lignes et colonnes, on emploie la transposition. Si l'on veut seulement lire les lignes de bas en haut, on précise que l'ordre des lignes est inversé.
À ne pas confondre
Renversement d'ordre et transposition d'une matrice. Transposer échange les indices de ligne et de colonne. Ainsi, une matrice à deux lignes et trois colonnes devient une matrice à trois lignes et deux colonnes ; inverser seulement l'ordre de ses six éléments ne produit pas cette opération.
Polynôme renversé et polynôme inverse. Le renversé Q est encore un polynôme obtenu en retournant les coefficients. L'inverse multiplicatif de P serait la fonction rationnelle , lorsqu'elle est définie. Avec , le renversé vaut encore , alors que l'inverse vaut .
Renversement d'ordre et renversement géométrique. Dans une autre convention, un renversement d'un espace euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace de codimension 2. Dans un plan vectoriel, cette convention donne la symétrie centrale de centre l'origine ; elle ne consiste pas à retourner une liste de coordonnées.
Limites et pièges
Les coordonnées dépendent d'une base ordonnée. Sans base et sans ordre des vecteurs de base, il n'existe ni première ni dernière coordonnée à échanger. Il faut annoncer la base avant de parler du renversement d'un vecteur.
Une liste d'une seule valeur ne change pas. Pour n = 1, la première place est aussi la dernière. Le renversement reste défini, mais son effet est l'identité. Certaines listes plus longues restent aussi inchangées lorsque leurs valeurs se lisent pareil dans les deux sens.
Le degré du polynôme doit rester fixé. Si le terme constant de P est nul, son renversé peut avoir un degré inférieur à n. Par exemple, avec et n = 3, le renversé vaut 1. Pour retrouver P, il faut renverser la liste de longueur n + 1 en conservant ses zéros, et non repartir du degré 0 du résultat. Le polynôme nul exige lui aussi une longueur annoncée.
Le mot seul ne détermine pas l'opération sur une matrice. Deux logiciels ou deux textes peuvent inverser les lignes, les colonnes ou les deux. Le symptôme est l'obtention de résultats différents à partir de la même matrice ; il faut alors écrire explicitement la transformation choisie.
Pour aller plus loin
La fiche transposition d'une matrice précise l'opération qui échange lignes et colonnes, afin de la distinguer d'un simple ordre de lecture inversé.
La fiche symétrie orthogonale développe le sens géométrique rencontré lorsque le mot « renversement » désigne une transformation euclidienne.
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