matrice compagnon

Prenez les coefficients d’un polynôme unitaire et rangez leurs opposés dans la dernière colonne d’un carré de nombres. Placez ensuite des 1 juste sous la diagonale et des 0 partout ailleurs. Ce rangement très contraint est la matrice compagnon. Il transforme le polynôme en objet matriciel sans perdre son information essentielle : le calcul du polynôme caractéristique de la matrice redonne exactement le polynôme de départ.

Soit un polynôme unitaire P de degré n, à coefficients dans un corps. Ses coefficients sont notés a₀, a₁, …, a_n−1, le coefficient de xⁿ étant égal à 1. La matrice compagnon C associée à P est une matrice carrée de n lignes et n colonnes.

Dans la convention de la définition source, C contient des 1 juste sous la diagonale principale, les opposés −a₀, …, −a_n−1 dans la dernière colonne, et des 0 ailleurs :

Cette disposition définit entièrement C à partir de P. En calculant le déterminant de x fois la matrice identité moins C, on obtient P(x) : $\det (x{I}_n-C)=P(x)\backslash det(xI\_n-C)=P(x)$. La construction relie ainsi l’étude du polynôme à celle d’un endomorphisme et intervient dans la forme normale de Frobenius.

Quatre éléments organisent la matrice compagnon. Son ordre n vient du degré du polynôme. La sous-diagonale, formée de n−1 nombres égaux à 1, décale les coordonnées d’une ligne à la suivante. La dernière colonne enregistre les opposés des n coefficients a₀ à a_n−1. Toutes les autres cases valent 0.

Le degré fixe donc à la fois la taille du carré et le nombre de coefficients à placer. Leur ordre fixe chaque ligne de la dernière colonne. Ces données suffisent à construire une unique matrice dans la convention retenue, puis à calculer son polynôme caractéristique. La figure matérialise ce lien sur le même polynôme cubique que l’exemple détaillé.

Données. On part du polynôme unitaire P défini par $P(x)=x^3-2x^2-x+2P(x)=x^3-2x^2-x+2$. Son degré est 3 et, dans l’ordre des puissances croissantes, ses coefficients sont a₀ = 2, a₁ = −1 et a₂ = −2.

1. On crée une matrice carrée d’ordre 3 et on place deux 1 sous la diagonale.

2. On place les opposés −2, 1 et 2 dans la dernière colonne :

3. On forme x fois la matrice identité moins C, puis on développe son déterminant :

4. Le résultat est exactement P(x), ce qui vérifie la propriété attendue pour cette matrice compagnon.

Un contrôle indépendant consiste à factoriser le résultat : $P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)$. Le développement du produit redonne bien x³ − 2x² − x + 2.

Pour passer d’un polynôme unitaire à une matrice, on lit ses coefficients de la constante jusqu’au terme de degré n−1. Leurs opposés remplissent la dernière colonne ; le degré donne immédiatement l’ordre de la matrice.

Pour retrouver les racines par des outils matriciels, on étudie les valeurs propres de la matrice compagnon dans un corps où le polynôme se décompose. Un calcul direct de factorisation reste préférable lorsque les facteurs se repèrent immédiatement.

Pour contrôler une matrice candidate, on vérifie d’abord les 1 sous la diagonale, les 0 hors dernière colonne, puis l’ordre et les signes des coefficients. Le déterminant de xI_n − C fournit le contrôle décisif.

Avec le polynôme caractéristique. La matrice compagnon est un tableau carré ; son polynôme caractéristique est une expression en x. Dans l’exemple, C est la matrice d’ordre 3, tandis que P(x) = x³ − 2x² − x + 2.

Avec une matrice quelconque ayant le même polynôme caractéristique. Partager P(x) ne suffit pas pour être la matrice compagnon de P. Il faut aussi retrouver la sous-diagonale de 1, la dernière colonne des coefficients opposés et les 0 imposés par la construction.

Polynôme non unitaire. La construction donnée suppose que le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1. S’il vaut un autre nombre non nul, il faut d’abord diviser tous les coefficients par ce nombre ; sinon la dernière colonne ne correspond pas à la définition.

Convention transposée. Certaines présentations placent les 1 au-dessus de la diagonale et les coefficients opposés sur la dernière ligne. La matrice obtenue est la transposée de celle utilisée ici. Avant de comparer deux réponses, il faut donc regarder où sont les 1.

Racines absentes du corps de départ. Le polynôme caractéristique reste P, mais ses racines ne sont des valeurs propres dans le corps considéré que si elles y appartiennent. Il faut au besoin étendre le corps avant de parler de toutes les valeurs propres.

Le polynôme caractéristique précise le déterminant associé à une matrice et éclaire pourquoi celui de la matrice compagnon restitue P.

La notion de valeur propre relie les racines de P aux directions propres de la matrice compagnon, dans un corps contenant ces racines.