Déterminant caractéristique

Prenons une matrice carrée qui transforme des vecteurs. On lui soustrait le même nombre λ sur toute sa diagonale, puis on calcule le déterminant obtenu. Au lieu d'un nombre fixe, le résultat est alors un polynôme en λ.

Les valeurs de λ qui annulent ce polynôme signalent les directions que la transformation conserve, en se contentant de les agrandir, de les réduire ou de les renverser. Ces valeurs sont les valeurs propres.

Soit A une matrice carrée de taille n, et soit I_n la matrice identité de même taille. Le déterminant caractéristique selon la convention de la source est la fonction de la variable λ donnée par ${\chi }_A(\lambda )=\det (A-\lambda I_n)\backslash chi\_A(\backslash lambda)=\backslash det(A-\backslash lambda\; I\_n)$. C'est un polynôme de degré n. Ses racines dans le corps de calcul, lorsqu'elles existent, sont exactement les valeurs propres de A.

Une autre convention très courante pose $p_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)p\_A(\backslash lambda)=\backslash det(\backslash lambda\; I\_n-A)$. Les deux polynômes diffèrent par le facteur (−1)ⁿ et ont donc les mêmes racines. Avec la première convention, le coefficient dominant est (−1)ⁿ et le terme constant vaut det(A). Avec la seconde, le coefficient dominant vaut 1 et le terme constant vaut (−1)ⁿdet(A).

Le théorème de Cayley–Hamilton énonce que la substitution de la matrice A à la variable dans son polynôme caractéristique donne la matrice nulle. Multiplier le polynôme par (−1)ⁿ ne change pas cette annulation.

Considérons la matrice carrée réelle A de taille 2 et la matrice identité I₂. Toutes les opérations seront exactes. Les données sont :

1. Soustrayons λ sur la diagonale :

2. Calculons le déterminant : La figure rend visibles les deux produits du déterminant 2×2.

3. Factorisons le résultat : λ² − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3). Les racines sont donc 1 et 3 : ce sont les deux valeurs propres de A.

4. Contrôlons Cayley–Hamilton avec le polynôme obtenu : Le calcul matriciel confirme l'annulation.

Pour trouver les valeurs propres d'une petite matrice carrée, on calcule son polynôme caractéristique puis on cherche ses racines. Si le polynôme se factorise, cette voie est souvent plus directe qu'une résolution séparée de plusieurs systèmes linéaires.

Pour vérifier un résultat, la somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité doit retrouver la trace de la matrice, et leur produit son déterminant. Dans l'exemple, 1 + 3 = 4 et 1 × 3 = 3.

Pour calculer une puissance élevée de A, Cayley–Hamilton ramène les puissances d'ordre au moins n à une combinaison de puissances plus petites. Pour la matrice de l'exemple, A² = 4A − 3I₂.

Déterminant de A. C'est un nombre, obtenu sans variable. Le déterminant caractéristique est un polynôme. Dans l'exemple, det(A) = 3, tandis que χ_A(λ) = λ² − 4λ + 3.

Valeur propre. C'est une racine du polynôme caractéristique, non le polynôme lui-même. Pour l'exemple, le polynôme est λ² − 4λ + 3 et ses valeurs propres sont 1 et 3.

Vecteur propre. C'est un vecteur non nul dont l'image par A est un multiple de lui-même. Le déterminant caractéristique fournit le multiplicateur possible λ ; il faut ensuite résoudre (A − λI_n)v = 0 pour trouver les vecteurs correspondants.

Convention de signe. Écrire det(A − λI_n) donne un terme dominant (−1)ⁿλⁿ. Si n est impair, il vaut donc −λⁿ. Pour obtenir toujours un polynôme unitaire, il faut employer det(λI_n − A).

Racines absentes du corps de calcul. Une matrice réelle peut avoir un polynôme caractéristique sans racine réelle. Il faut alors étendre le calcul aux nombres complexes si l'on veut obtenir toutes les valeurs propres.

Racine multiple. Une valeur propre répétée dans le polynôme ne garantit pas autant de directions propres indépendantes. Il faut calculer le noyau de A − λI_n avant de conclure que la matrice est diagonalisable.

Matrice non carrée. Le déterminant caractéristique n'est pas défini pour une matrice rectangulaire, car son déterminant n'existe pas. Il faut employer d'autres outils adaptés, comme le rang, selon la question posée.

Le polynôme caractéristique replace le déterminant étudié dans son vocabulaire usuel et précise les informations encodées par ses coefficients.

La fiche sur la valeur propre développe le lien entre une racine du polynôme, une direction propre et l'action géométrique de la matrice.

Le théorème de Cayley-Hamilton montre comment substituer la matrice à la variable et réduire ensuite ses puissances élevées.