Partenaire (matrice)

Prenez un polynôme et rangez ses coefficients dans une matrice carrée. Des 1 placés juste sous la diagonale assurent le décalage d'une ligne à la suivante. La dernière colonne conserve les coefficients, avec les signes adaptés.

Cette matrice compagnon est une autre façon d'encoder le polynôme. Chercher les nombres qui annulent celui-ci revient alors à chercher les valeurs propres de la matrice. Un problème sur des racines devient ainsi un problème d'algèbre linéaire.

Soit un polynôme unitaire P de degré n, c'est-à-dire dont le coefficient du terme de degré n vaut 1. Ses autres coefficients sont notés a₀, a₁, jusqu'à a_n−1, du terme constant au terme de degré n − 1. Avec la convention de la dernière colonne, sa matrice compagnon C est définie par :

La matrice est carrée d'ordre n. Les 1 de la sous-diagonale et la dernière colonne suffisent à la déterminer ; toutes ses autres entrées sont nulles. Son polynôme caractéristique, calculé selon la convention det(XI_n − C), est exactement P. Par conséquent, dans un corps où P se scinde, les racines de P sont les valeurs propres de C, avec les mêmes multiplicités algébriques. Une convention transposée, avec des 1 sur la sur-diagonale et les coefficients sur la dernière ligne, produit le même polynôme caractéristique.

Quatre éléments organisent la matrice compagnon. L'ordre n fixe d'abord ses n lignes et ses n colonnes. La sous-diagonale contient ensuite n − 1 éléments égaux à 1 : ils relient les colonnes successives. La dernière colonne reçoit les opposés des coefficients a₀, puis a₁, jusqu'à a_n−1. Toutes les autres cases valent 0.

L'ordre dépend donc du degré, tandis que la dernière colonne dépend de chaque coefficient. Les 1 seuls ne distinguent pas deux polynômes de même degré ; ce sont les valeurs de la dernière colonne qui les différencient. Ensemble, ces données construisent C sans ambiguïté pour la convention choisie et permettent de retrouver P en calculant det(XI_n − C).

On part du polynôme unitaire P(X) = X³ − 2X² − X + 2. Les données sont le degré n = 3 et les coefficients a₀ = 2, a₁ = −1 et a₂ = −2.

1. Préparer la structure. Une matrice d'ordre 3 est nécessaire. On place deux 1 sur sa sous-diagonale et des 0 dans les autres cases qui ne sont pas dans la dernière colonne.

2. Remplir la dernière colonne. Les opposés −a₀, −a₁ et −a₂ valent respectivement −2, 1 et 2. Le schéma associé rend visible ce passage des coefficients aux cases de la matrice.

3. Contrôler le polynôme caractéristique. Le déterminant de XI₃ − C donne :

4. Lire les racines comme valeurs propres. La factorisation P(X) = (X − 1)(X + 1)(X − 2) donne les racines −1, 1 et 2. Ce sont donc exactement les trois valeurs propres de C. En contrôle direct, leur somme vaut 2, comme la trace de C, et leur produit vaut −2, comme le déterminant de C.

Pour obtenir numériquement les racines d'un polynôme, on construit sa matrice compagnon puis on applique un algorithme de valeurs propres. Cette voie est utile lorsqu'une bibliothèque d'algèbre linéaire robuste est disponible ; pour un polynôme de petit degré qui se factorise immédiatement, la factorisation directe reste plus courte.

Pour représenter un endomorphisme cyclique, on choisit un vecteur dont les itérés forment une base. La matrice obtenue dans cette base est une matrice compagnon ; si aucun tel vecteur n'existe, une seule matrice compagnon ne suffit pas et la forme de Frobenius emploie plusieurs blocs.

En théorie du signal, un filtre récurrent ou une relation de récurrence peut être réécrit comme une évolution d'état. La forme compagnon convient lorsque l'état mémorise des valeurs successives ; une autre réalisation est préférable si l'on cherche une structure particulière ou une meilleure robustesse numérique.

Polynôme caractéristique. Il s'agit d'un polynôme associé à une matrice, tandis que la matrice compagnon est une matrice construite à partir d'un polynôme unitaire. Dans l'exemple, P est le polynôme caractéristique et C est l'objet matriciel qui le réalise.

Matrice de Vandermonde. Elle se construit à partir d'une liste de nombres, souvent des points d'interpolation ou des racines déjà connues. Une matrice compagnon se construit directement avec les coefficients : pour P(X) = X³ − 2X² − X + 2, il n'est pas nécessaire de connaître d'abord −1, 1 et 2.

Le domaine de construction compte. Le degré n est un entier positif. Pour n = 1, la matrice se réduit à la case −a₀ et la sous-diagonale est vide. Si le coefficient dominant vaut b avec b ≠ 0, on divise d'abord tous les coefficients par b ; oublier cette normalisation change le polynôme caractéristique obtenu.

Les signes dépendent de l'écriture. Pour P(X) = Xⁿ + a_n−1Xⁿ⁻¹ + … + a₀, la dernière colonne contient −a₀, …, −a_n−1. Copier les coefficients sans les opposer change le polynôme obtenu.

Deux orientations sont courantes. Certains ouvrages utilisent la transposée : les 1 sont alors sur la sur-diagonale et les coefficients sur la dernière ligne. Les deux matrices ont le même polynôme caractéristique ; il faut annoncer la convention avant de comparer leurs cases.

L'égalité théorique ne garantit pas un calcul insensible aux arrondis. Des coefficients approchés peuvent conduire à des racines très sensibles. Le symptôme est une forte variation des valeurs propres pour une faible perturbation des données ; il faut alors évaluer le conditionnement et employer une méthode numérique adaptée.

Le polynôme caractéristique précise comment le déterminant det(XI − C) encode les valeurs propres et leurs multiplicités.

La fiche sur la valeur propre explique le lien entre une racine du polynôme caractéristique et un vecteur invariant à un facteur près.

Le théorème de Cayley-Hamilton montre pourquoi la matrice compagnon annule le polynôme qu'elle représente.