AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
matrice de Sylvester
Soient P et Q deux polynômes non constants à coefficients dans un corps K, de degrés respectifs p et q. La matrice de Sylvester de P et Q est la matrice carrée d'ordre p + q construite de la façon suivante : les p premières colonnes sont obtenues en inscrivant les coefficients de Q décalés successivement d'une ligne vers le bas, et les q colonnes suivantes en inscrivant les coefficients de P décalés de même. Avec la convention standard, le déterminant de cette matrice vaut . Théorème fondamental : les polynômes P et Q ont un diviseur commun non constant dans K[X] si et seulement si leur résultant est nul, ce qui équivaut à l'existence d'une racine commune dans une clôture algébrique de K.
Dans le cadre de l'algèbre des matrices réelles ou complexes, le critère de Sylvester établit qu'une matrice symétrique réelle (ou hermitienne complexe) A d'ordre n est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux dominants (les déterminants des sous-matrices carrées de coin supérieur gauche d'ordre 1, 2, …, n) sont strictement positifs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire la matrice à partir des degrés et des coefficients de deux polynômes.
- Calculer un résultant sur un exemple d’ordre 3 et contrôler son interprétation.
- Distinguer la matrice de Sylvester du critère de Sylvester pour les matrices définies positives.
- Reconnaître les hypothèses et les limites de chacun des deux tests.
En clair
Prenez deux polynômes non constants et rangez leurs coefficients dans une grande grille carrée. Chaque nouvelle colonne reproduit les mêmes coefficients, décalés d’une ligne. Cette grille est la matrice de Sylvester. Son déterminant condense une question : les deux polynômes ont-ils un facteur commun non constant ?
Si ce déterminant, appelé résultant, vaut zéro, les deux polynômes ont un facteur commun non constant ; de façon équivalente, ils ont une racine commune dans une clôture algébrique du corps de coefficients. Sinon, ils n’en ont pas. Le nom de Sylvester intervient aussi dans un autre test, consacré aux matrices définies positives.
Définition
Soient deux polynômes non constants P et Q à coefficients dans un corps K. Le degré de P est noté p et celui de Q est noté q. Leur matrice de Sylvester est une matrice carrée d’ordre p + q. Ses p premières colonnes contiennent les coefficients de Q, puis leurs décalages successifs d’une ligne vers le bas. Ses q colonnes suivantes sont construites de la même manière avec les coefficients de P.
Avec la convention standard du résultant, le déterminant de cette matrice vaut . Le critère fondamental s’écrit : . De façon équivalente, P et Q ont une racine commune dans une clôture algébrique de K.
Une seconde notion porte le nom de Sylvester. Pour une matrice réelle symétrique, ou complexe hermitienne, d’ordre n, le critère de Sylvester affirme qu’elle est définie positive exactement lorsque les n déterminants de ses coins supérieurs gauches, d’ordres 1 à n, sont tous strictement positifs. Ce critère ne construit pas la matrice de polynômes décrite ici.
De quoi c'est fait
La construction repose sur cinq éléments. Les coefficients de Q forment un premier motif vertical et ceux de P un second. Les degrés p et q fixent à la fois le nombre de décalages et la taille p + q de la matrice. Des zéros complètent chaque colonne pour conserver cette taille carrée.
Le degré de P impose q colonnes issues de P, tandis que le degré de Q impose p colonnes issues de Q. Dans chaque famille, une colonne descend d’une ligne par rapport à la précédente. L’ordre choisi pour écrire les coefficients doit rester identique dans toutes les colonnes. Ces données suffisent à construire la matrice puis à calculer son déterminant. La figure matérialise les deux familles de colonnes et leurs décalages.
Un exemple, pas à pas
On considère P(x) = x2 − 1 et Q(x) = x − 2. Leurs degrés sont p = 2 et q = 1. Les coefficients de P sont 1, 0, −1 ; ceux de Q sont 1, −2. La matrice cherchée est donc d’ordre 3.
1. Les deux premières colonnes reçoivent les coefficients de Q, la seconde étant décalée d’une ligne.
2. La dernière colonne reçoit les coefficients de P.
3. On obtient
2. La dernière colonne reçoit les coefficients de P.
3. On obtient
.
4. En développant le déterminant sur la première ligne, .
5. Le résultant vaut donc 3, qui n’est pas nul. P et Q n’ont aucune racine commune.
5. Le résultant vaut donc 3, qui n’est pas nul. P et Q n’ont aucune racine commune.
Le contrôle se refait sans matrice : les racines de P sont 1 et −1, tandis que la racine de Q est 2. Les deux listes ne se rencontrent pas, conformément au résultant non nul. Le signe positif de 3 n’est pas le critère décisif : sa non-nullité suffit ici pour conclure.
En pratique
Pour rechercher un diviseur commun non constant sans résoudre séparément deux polynômes, on construit la matrice de Sylvester et on calcule son déterminant. Un déterminant nul signale un tel diviseur ; un déterminant non nul l’exclut. Cela revient à rechercher une racine commune dans une clôture algébrique du corps de coefficients.
Si l’on travaille plutôt avec une matrice réelle symétrique ou complexe hermitienne et que la question porte sur sa positivité, on emploie le critère de Sylvester. On calcule alors successivement les déterminants des coins supérieurs gauches. Tous doivent être strictement positifs.
Dans l’exemple P(x) = x2 − 1 et Q(x) = x − 2, le déterminant 3 suffit pour conclure. Il évite de confondre le test d’une racine commune avec la recherche explicite de toutes les racines.
À ne pas confondre
Matrice de Sylvester et critère de Sylvester. La première est construite à partir de deux polynômes et son déterminant teste l’existence d’un diviseur commun non constant. Le second s’applique à une matrice réelle symétrique ou complexe hermitienne et teste si elle est définie positive. Pour distinguer les deux notions, il faut donc identifier la construction et la question posée : une même matrice peut relever des deux situations.
Matrice de Sylvester et résultant. La matrice est la grille de coefficients ; le résultant est le nombre obtenu en calculant son déterminant. Dans l’exemple conducteur, la grille est d’ordre 3, tandis que le résultant est le nombre 3.
Limites et pièges
Un résultat nul ne donne pas la racine. Le déterminant nul affirme qu’une racine est commune, mais il ne fournit pas sa valeur. Il faut ensuite déterminer le diviseur commun ou résoudre les polynômes concernés.
L’ordre des coefficients doit rester cohérent. Mélanger coefficients croissants et décroissants entre deux colonnes produit une autre matrice et invalide le calcul. Il faut fixer une convention, puis appliquer le même ordre à tous les décalages.
La positivité exige des hypothèses. Le critère des mineurs principaux dominants concerne une matrice réelle symétrique ou complexe hermitienne. Sans cette propriété observable, la seule positivité de ces déterminants ne permet pas d’appliquer le critère tel qu’il est énoncé.
Le seuil est strict. Pour le critère de positivité, chacun des mineurs concernés doit être supérieur à zéro. Dès qu’un de ces déterminants vaut exactement zéro, la conclusion « définie positive » ne suit plus de ce critère.
Pour aller plus loin
Résultant — Pour approfondir le déterminant associé à deux polynômes et son rôle dans la détection d’une racine commune.
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