AlgèbreNotion · Glossaire
Mineur principal
Un mineur principal d'ordre k d'une matrice carrée A d'ordre n est le déterminant de la sous-matrice carrée obtenue en sélectionnant un même ensemble de k indices de lignes et de colonnes. Le mineur principal de tête d'ordre k est le déterminant de la sous-matrice formée par les k premières lignes et les k premières colonnes. Ces mineurs jouent un rôle central dans le critère de Sylvester pour la définie-positivité : une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Former une sous-matrice principale avec les mêmes indices de lignes et de colonnes.
- Distinguer un mineur principal quelconque d'un mineur principal de tête.
- Calculer les trois mineurs de tête d'une matrice symétrique réelle d'ordre 3.
- Appliquer le critère de Sylvester sans oublier ses hypothèses ni le caractère strict des inégalités.
En clair
Imaginez une matrice carrée comme une grille de nombres. Choisissez quelques numéros de lignes, puis gardez les colonnes portant exactement les mêmes numéros. Le déterminant de la petite grille ainsi isolée est un mineur principal.
Les carrés emboîtés qui partent du coin supérieur gauche donnent les mineurs principaux de tête. Pour une matrice symétrique réelle, leurs signes fournissent un test décisif : s'ils sont tous strictement positifs, la matrice est définie positive.
Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On choisit un ensemble I d'indices parmi 1, …, n, puis on forme la sous-matrice AI,I en conservant les lignes et les colonnes indexées par I, dans le même ordre. Le déterminant suivant est un mineur principal :
Son ordre est le nombre d'indices choisis. À un ordre donné, il peut donc exister plusieurs mineurs principaux.
Lorsque I réunit les k premiers indices, on obtient le mineur principal de tête d'ordre k, noté ici Δk :
Cette convention précise le sens de la deuxième phrase de la définition de référence : elle décrit les mineurs de tête, et non tous les choix possibles de k indices.
Le critère de Sylvester s'applique à une matrice symétrique réelle. Elle est définie positive si et seulement si ses n mineurs principaux de tête sont strictement positifs :
De façon équivalente, tous ses mineurs principaux, pour tous les ensembles I non vides, sont alors strictement positifs.
Un exemple, pas à pas
Considérons une matrice symétrique réelle A d'ordre 3. Ses neuf coefficients sont les données du calcul :
La figure montre les trois sous-matrices de tête emboîtées que l'on va tester.
1. La première sous-matrice contient seulement le coefficient supérieur gauche. Son déterminant vaut exactement :
2. La sous-matrice de tête d'ordre 2 occupe les deux premières lignes et colonnes :
3. Pour la matrice entière, un développement suivant la première ligne donne :
Les trois résultats 2, 3 et 4 sont strictement positifs. Comme A est symétrique réelle, le critère de Sylvester permet de conclure qu'elle est définie positive. Pour contrôler la distinction entre les deux familles, les indices 1 et 3 donnent aussi un mineur principal d'ordre 2 : le déterminant de la matrice diagonale de coefficients 2 et 2 vaut 4, mais ce n'est pas un mineur de tête.
En pratique
Pour tester à la main une petite matrice symétrique réelle, on calcule les déterminants des blocs carrés successifs du coin supérieur gauche. Dès qu'un résultat est nul ou négatif, le critère de Sylvester ne peut pas conclure à la définie-positivité.
Avec des coefficients symboliques, les mineurs de tête transforment la question en conditions algébriques sur les paramètres. Cette voie est préférable lorsqu'on veut conserver des inégalités exactes ; le calcul des valeurs propres constitue une autre caractérisation possible.
Avant tout calcul, on vérifie la symétrie. Si la matrice ne coïncide pas avec sa transposée, la version du critère de Sylvester énoncée ici n'est pas applicable, même si les premiers déterminants semblent favorables.
À ne pas confondre
Mineur principal et mineur quelconque. Dans un mineur principal, les numéros de lignes et de colonnes retenus coïncident. Extraire les lignes 1 et 2 avec les colonnes 2 et 3 produit un mineur, mais pas un mineur principal.
Mineur principal et mineur principal de tête. Le premier autorise n'importe quel ensemble commun d'indices. Le second impose les k premiers. Dans l'exemple, le choix des indices 1 et 3 donne le mineur principal 4 ; le mineur de tête d'ordre 2 vaut 3.
Matrice définie positive et matrice à coefficients positifs. Le critère porte sur la forme quadratique d'une matrice symétrique, pas sur le signe de chaque coefficient. La matrice de l'exemple possède des zéros et reste définie positive.
Limites et pièges
La symétrie est indispensable. Des mineurs de tête positifs ne suffisent pas à appliquer le critère présenté à une matrice réelle non symétrique. Le symptôme est immédiat : au moins deux coefficients placés symétriquement par rapport à la diagonale diffèrent. Il faut alors employer un critère adapté à la propriété réellement étudiée.
La positivité doit être stricte. Un mineur de tête nul bloque la conclusion « définie positive ». Par exemple, la matrice diagonale dont les coefficients sont 0 et −1 a deux mineurs de tête nuls, mais elle n'est pas semi-définie positive. Pour la semi-définie-positivité d'une matrice symétrique réelle, il faut contrôler tous les mineurs principaux et demander qu'ils soient non négatifs.
Le déterminant total ne suffit pas. Il n'est que le mineur de tête d'ordre n. La matrice diagonale de coefficients −1 et −1 a un déterminant égal à 1, alors que son premier mineur de tête vaut −1. Il faut examiner la suite entière Δ1, …, Δn.
L'ordre dépend de l'indexation choisie. Une permutation simultanée des lignes et des colonnes conserve les mineurs principaux comme famille, mais peut changer ceux qui apparaissent « en tête ». Le critère reste valable sur la matrice symétrique ainsi réordonnée, à condition de recalculer toute la nouvelle suite de tête.
Pour aller plus loin
La fiche Symétrique positive (matrice) replace le test par les mineurs principaux dans l'étude de la positivité d'une forme quadratique.
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