Symétrique positive (matrice)

Prenez une grille carrée dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). Les deux 1 se font face de part et d’autre de la diagonale : la matrice est symétrique. Choisissez ensuite une direction, par exemple le vecteur (1, −1). Le calcul associé donne 2, jamais une quantité négative.

Une matrice symétrique positive possède cette propriété dans toutes les directions. Si le résultat reste strictement positif dès que le vecteur n’est pas nul, elle est définie positive : elle ne contient alors aucune direction « plate ».

Une matrice symétrique positive, ou semi-définie positive, est une matrice carrée réelle A égale à sa transposée. Pour tout vecteur colonne x de taille compatible, la forme quadratique associée doit vérifier $x^{\mathsf{T}}Ax\ge 0x^\{\backslash mathsf\; T\}Ax\backslash geq\; 0$. Le vecteur nul donne toujours 0.

La matrice A est définie positive lorsque l’inégalité devient stricte pour tout vecteur x non nul : $x^{\mathsf{T}}Ax>0x^\{\backslash mathsf\; T\}Ax>0$. Pour une matrice réelle symétrique, la semi-positivité équivaut à avoir toutes les valeurs propres positives ou nulles. La définie-positivité équivaut à les avoir toutes strictement positives ; elle entraîne donc l’inversibilité.

Le théorème spectral fournit aussi une factorisation $A=B^{\mathsf{T}}BA=B^\{\backslash mathsf\; T\}B$. Dans le cas défini positif, B peut être choisie triangulaire et inversible : c’est la décomposition de Cholesky. Dans le cas seulement semi-défini positif, une telle factorisation existe encore, mais son facteur peut être singulier.

Quatre éléments structurent l’objet. Une grille carrée réelle fixe la taille. La symétrie impose que les coefficients placés en miroir de la diagonale soient égaux. Un vecteur choisit une direction. Enfin, la forme quadratique x^TAx mesure la valeur produite dans cette direction.

La grille détermine quelles multiplications sont possibles, et ses coefficients déterminent la forme quadratique. La symétrie permet ensuite de relier le signe de cette forme aux valeurs propres ; si la matrice est en plus définie positive, elle admet une factorisation de Cholesky. Dans le cas semi-défini, une factorisation A = B^TB existe encore, mais son facteur peut être singulier et le traitement par Cholesky demande des précautions distinctes. Seules la symétrie et l’inégalité pour tous les vecteurs définissent la positivité ; les valeurs propres, les mineurs et la factorisation sont des caractérisations ou des outils de calcul. La couleur ou la disposition graphique de la grille ne change rien.

Prenons la matrice A de lignes (2, 1) et (1, 2), ainsi qu’un vecteur non nul z dont les coordonnées sont u et v. Nous voulons décider si A est définie positive.

1. La matrice est bien symétrique, car ses deux coefficients hors diagonale valent 1.

2. Calculons la forme quadratique : $z^{\mathsf{T}}Az=2u^2+2uv+2v^{2}z^\{\backslash mathsf\; T\}Az=2u^2+2uv+2v^2$.

3. Réécrivons ce résultat comme une somme de carrés : $2u^2+2uv+2v^2=(u+v{)}^2+u^2+v^{2}2u^2+2uv+2v^2=(u+v)^2+u^2+v^2$.

4. Comme z n’est pas nul, u et v ne sont pas nuls simultanément. La somme u² + v² est donc strictement positive, et la forme quadratique l’est aussi. La matrice A est définie positive.

Un contrôle indépendant utilise les mineurs principaux en haut à gauche : le premier vaut 2 et le déterminant de A vaut 2 × 2 − 1 × 1 = 3. Tous deux sont strictement positifs, comme l’exige le critère de Sylvester. La décomposition en trois carrés rend visible la raison de ce verdict.

Pour contrôler une petite matrice exacte, on vérifie d’abord sa symétrie. Pour démontrer qu’elle est définie positive, le critère de Sylvester est souvent plus court qu’un test direct sur tous les vecteurs : ses mineurs principaux successifs doivent être strictement positifs.

Dans un calcul numérique, on tente une décomposition de Cholesky. Si la matrice est symétrique définie positive, cette factorisation permet de résoudre efficacement des systèmes linéaires. Si la factorisation échoue, l’examen des valeurs propres aide à distinguer une vraie direction négative d’un effet d’arrondi.

En optimisation quadratique, une matrice définie positive associée au terme quadratique indique une courbure strictement positive dans chaque direction. Si toutes les valeurs propres restent positives ou nulles mais que l’une est nulle, une direction plate peut empêcher l’unicité du minimum.

En statistique, une matrice de covariance est symétrique semi-définie positive. Elle n’est définie positive que si aucune combinaison linéaire non nulle des variables n’a une variance nulle ; sinon, il faut accepter une matrice singulière ou retirer la dépendance redondante.

Une matrice symétrique n’est pas nécessairement positive. La matrice diagonale de coefficients 1 et −1 est symétrique, mais le vecteur (0, 1) donne une forme quadratique égale à −1. La symétrie compare les coefficients ; la positivité contrôle le signe dans toutes les directions.

Une matrice à coefficients positifs peut ne pas être positive au sens quadratique. La matrice de lignes (1, 2) et (2, 1) n’a que des coefficients positifs, mais le vecteur (1, −1) donne −2. Inversement, la matrice de lignes (2, −1) et (−1, 2) est définie positive malgré ses coefficients négatifs.

Positive ne signifie pas toujours définie positive. La matrice diagonale de coefficients 1 et 0 donne toujours une valeur positive ou nulle, mais le vecteur (0, 1) donne exactement 0. Elle est seulement semi-définie positive, elle n’est pas inversible et aucun facteur carré B dans A = B^TB ne peut être inversible.

Une forme quadratique positive ne suffit pas si la symétrie fait partie de la définition. La matrice de lignes (1, 1) et (−1, 1) donne x² + y², strictement positif hors de l’origine, mais elle n’est pas symétrique. La forme quadratique ne voit que la partie symétrique de la matrice ; il faut donc contrôler A^T = A séparément.

Le critère de Sylvester change avec le verdict recherché. Pour la définie-positivité d’une matrice symétrique, les mineurs principaux successifs en haut à gauche doivent tous être strictement positifs. Pour la semi-positivité, demander seulement à ces mineurs d’être positifs ou nuls ne suffit pas : la matrice diagonale de coefficients 0 et −1 donne deux tels mineurs nuls, tout en prenant la valeur −1 dans la seconde direction. Il faut alors contrôler tous les mineurs principaux ou les valeurs propres.

La Transposée précise l’opération utilisée dans la condition de symétrie A^T = A.

La valeur propre donne le critère spectral qui sépare valeurs strictement positives, nulles et négatives.

La signature d'une forme quadratique compte les directions positives, négatives et nulles après diagonalisation.

La matrice inverse approfondit la conséquence d’inversibilité propre au cas défini positif.