Réduction simultanée

Imaginez deux cartes de niveaux tracées sur la même feuille. Chacune possède ses propres courbes inclinées, si bien que les lire ensemble paraît compliqué. Un même changement de repère peut parfois redresser les deux familles à la fois : chaque mesure devient alors une somme de contributions indépendantes selon les nouveaux axes.

La réduction simultanée accomplit ce rangement pour deux formes quadratiques. Lorsque l'une des deux fournit une mesure strictement positive dans toute direction non nulle, ses axes adaptés servent de repère commun à l'autre.

Soient A et B deux matrices symétriques réelles de même taille, représentant deux formes quadratiques dans une même base. Les réduire simultanément signifie trouver une matrice de passage inversible P telle que les deux matrices obtenues par congruence soient diagonales :

Les symboles D_A et D_B désignent les deux matrices diagonales. Le mot « simultanée » signifie que la même matrice P sert dans les deux transformations ; il ne signifie pas que P est unique. Il s'agit d'un changement de variables dans les formes quadratiques, donc d'une congruence, et non en général d'une similitude.

Si B est définie positive, c'est-à-dire si la forme associée à B prend une valeur strictement positive sur tout vecteur réel non nul, on peut choisir les colonnes de P orthonormales pour le produit scalaire défini par B. Ces colonnes sont des vecteurs propres généralisés : pour chaque colonne x et une valeur réelle λ, elles vérifient $Ax=\lambda BxAx=\backslash lambda\; Bx$. Dans cette normalisation, D_B est l'identité et les éléments diagonaux de D_A sont les valeurs propres généralisées. Ce résultat explique l'emploi de la réduction simultanée pour les modes propres en mécanique et pour certaines formes d'optimisation quadratique.

On veut réduire simultanément deux formes quadratiques de ℝ². Dans la base usuelle, elles sont représentées par les matrices symétriques A et B suivantes :

1. Vérifier l'hypothèse. Le premier coefficient diagonal de B vaut 1 et son déterminant vaut 1 × 2 − (−1)² = 1. Ces deux nombres étant strictement positifs, B est définie positive.

2. Trouver les valeurs propres généralisées. On résout l'équation obtenue en annulant le déterminant de A − λB :Les deux valeurs sont donc λ₁ = 2 et λ₂ = 5.

3. Calculer les directions. Pour λ₁ = 2, on choisit x₁ = (1, 0). Pour λ₂ = 5, on choisit x₂ = (1, 1). Les égalités Ax₁ = 2Bx₁ et Ax₂ = 5Bx₂ se vérifient directement. De plus, les deux vecteurs sont orthogonaux pour B.

4. Former la base commune. La matrice P a pour colonnes x₁ et x₂. Les deux congruences donnent alors :

Le contrôle est refaisable colonne par colonne : x₁^TBx₁ = 1, x₂^TBx₂ = 1 et x₁^TBx₂ = 0. La même base normalise donc B et diagonalise A, avec les coefficients 2 et 5.

En mécanique, une matrice peut décrire la rigidité et une autre la masse. Lorsque la matrice de masse est définie positive, les vecteurs propres généralisés fournissent des modes indépendants. Si la matrice de masse est déjà l'identité, une diagonalisation ordinaire de la matrice de rigidité suffit.

En optimisation quadratique, le changement de variables sépare les directions d'une forme tout en normalisant la mesure donnée par l'autre. On lit alors chaque direction indépendamment. Si la seconde forme n'est pas définie positive, cette normalisation en produit scalaire n'est plus disponible et il faut étudier le couple de matrices autrement.

Pour un calcul exact, on résout le problème aux valeurs propres généralisées puis on normalise les vecteurs avec B. Pour des données numériques, une factorisation adaptée de B transforme d'abord le problème en un problème symétrique ordinaire ; elle est préférable à la manipulation directe d'un inverse de B.

Diagonaliser séparément. Trouver une base pour A et une autre pour B ne donne pas une réduction simultanée. Dans l'exemple, le critère décisif est qu'une seule matrice P produit les deux matrices diagonales.

Diagonalisation simultanée par similitude. Pour deux matrices symétriques réelles, une même base orthonormée pour le produit scalaire usuel les diagonalise par similitude lorsqu'elles commutent. Ici, la transformation est une congruence et l'hypothèse décisive porte sur B définie positive ; A et B n'ont pas besoin de commuter.

Vecteur propre ordinaire. Il vérifie Ax = λx. Un vecteur propre généralisé du couple vérifie Ax = λBx. Dans l'exemple, x₂ = (1, 1) satisfait la seconde relation pour λ = 5, mais ce n'est pas un vecteur propre ordinaire de A.

Sans positivité, l'existence n'est plus automatique. Si B est indéfinie, des valeurs propres généralisées peuvent ne pas être réelles. Par exemple, avec B diagonale de coefficients 1 et −1 et A ayant des 0 sur la diagonale et des 1 ailleurs, l'équation caractéristique donne λ² + 1 = 0. Aucune base réelle de vecteurs propres généralisés n'existe alors.

La base commune n'est pas unique. Une valeur propre généralisée répétée laisse plusieurs choix de directions dans son sous-espace propre. Même avec des valeurs distinctes, changer le signe d'un vecteur normalisé donne une autre matrice P.

Définie positive ne signifie pas seulement inversible. Une matrice symétrique peut être inversible tout en prenant des valeurs positives et négatives. Le symptôme est l'existence d'un vecteur non nul x pour lequel x^TBx ≤ 0 ; le théorème fondé sur le produit scalaire défini par B ne s'applique plus.

Une matrice presque singulière fragilise le calcul. Lorsque la plus petite valeur propre positive de B approche 0, la normalisation amplifie les erreurs d'arrondi. Il faut alors contrôler le conditionnement et employer une méthode numérique conçue pour le problème généralisé.

La diagonalisation simultanée situe les différents cadres dans lesquels plusieurs matrices peuvent partager une base adaptée.

La fiche Symétrique positive (matrice) précise la condition qui transforme B en produit scalaire et garantit la construction.

La notion de valeur propre donne le point de comparaison nécessaire pour lire l'équation généralisée et ses vecteurs.