signature d'une forme quadratique

Imaginez une expression faite de carrés : certains sont précédés d'un signe positif, d'autres d'un signe négatif. Après un changement de coordonnées bien choisi, on compte ces deux familles. Le couple formé par les deux nombres est la signature.

Ce comptage ne change pas quand on choisit une autre base adaptée. Il révèle si la forme est toujours positive, toujours négative ou capable de prendre les deux signes. Des termes nuls signalent des directions que la forme ne détecte pas.

Une forme quadratique réelle q sur un espace vectoriel de dimension finie n associe un nombre réel à chaque vecteur. Dans une base convenable, elle s'écrit comme une somme de carrés pondérés. On note r le nombre de coefficients strictement positifs, s le nombre de coefficients strictement négatifs et t le nombre de coefficients nuls. Avec la convention employée ici, la signature de q est le couple (r, s).

Le théorème d'inertie de Sylvester affirme que r, s et t ne dépendent pas de la base choisie pour cette réduction. Ils vérifient r + s + t = n. Le rang de q vaut r + s. La forme est non dégénérée exactement lorsque t = 0, donc lorsque r + s = n.

Si s = 0 et t = 0, la forme est définie positive ; si r = 0 et t = 0, elle est définie négative. Lorsque r et s sont tous deux non nuls, la forme est indéfinie : elle prend des valeurs positives et négatives. Certaines conventions appellent « signature » le nombre r − s plutôt que le couple (r, s) ; la convention doit donc être annoncée.

Considérons les vecteurs de l'espace réel à trois coordonnées. La forme q est donnée par $q(x,y,z)=x^2+2y^2-3z^{2}q(x,y,z)=x^2+2y^2-3z^2$. Les données à examiner sont la base usuelle et les trois coefficients diagonaux 1, 2 et −3.

1. L'expression est déjà diagonale : aucun changement de base n'est nécessaire.

2. Les coefficients 1 et 2 sont strictement positifs. Leur nombre r vaut donc 2.

3. Le coefficient −3 est strictement négatif. Son nombre s vaut donc 1. Aucun coefficient n'est nul.

4. La signature est (2, 1), le rang est 2 + 1 = 3 et la forme est non dégénérée. Elle est indéfinie puisque les deux signes sont présents.

Le contrôle se fait sur les vecteurs de la base : q(1, 0, 0) = 1, q(0, 1, 0) = 2 et q(0, 0, 1) = −3. On observe bien deux directions positives et une direction négative.

Quand l'expression est déjà une somme de carrés sans produits croisés, il suffit de compter les coefficients positifs, négatifs et nuls. Une nouvelle diagonalisation serait inutile : l'absence de termes comme xy est le critère observable.

Pour une matrice symétrique réelle comportant des termes hors diagonale, une réduction par congruence ou une décomposition adaptée fait apparaître l'inertie. En calcul numérique, compter les signes des valeurs propres est souvent préférable lorsque la matrice est grande et que des approximations sont acceptées.

Autour d'un point critique d'une fonction, les dérivées secondes forment une forme quadratique, dite hessienne. Sa signature distingue un minimum, un maximum ou un point selle lorsqu'elle est non dégénérée. Si un coefficient diagonal est nul après réduction, le test de la hessienne est inconclusif : une analyse des termes d'ordre supérieur ou une autre méthode peut être nécessaire.

Signature et rang. Le rang compte tous les coefficients diagonaux non nuls, sans distinguer leur signe ; la signature sépare les positifs des négatifs. Dans l'exemple, le rang vaut 3 tandis que la signature vaut (2, 1).

Signature et signe du déterminant. Pour une forme non dégénérée, le signe du déterminant indique seulement si le nombre de directions négatives est pair ou impair. Il ne donne pas le couple complet : en dimension quatre, les signatures (3, 1) et (1, 3) produisent toutes deux un déterminant négatif.

Diagonalisation par similitude et réduction par congruence. Les valeurs propres sont préservées par similitude, tandis que la signature est préservée par un changement de base de la forme quadratique, donc par congruence. Pour une matrice symétrique réelle, la diagonalisation orthogonale relie les deux calculs, mais les transformations ne doivent pas être confondues.

Coefficient nul. Si r + s < n, la forme est dégénérée et possède t = n − r − s directions nulles après réduction. Il faut conserver t ou le rang avec la signature : le seul couple (r, s) ne rappelle pas la dimension ambiante.

Convention non précisée. Le symbole « signature » peut désigner le couple (r, s), le couple (s, r) ou la différence r − s selon les auteurs. Le symptôme est un résultat écrit comme un nombre unique ou dans l'ordre inverse ; il faut lire la convention avant de comparer.

Cadre complexe. Sur les nombres complexes, un coefficient non nul peut être ramené à 1, car le signe réel n'est plus un invariant pertinent. Il faut alors parler du rang de la forme quadratique complexe, et non lui appliquer sans précaution une signature réelle.

Valeur presque nulle. Dans un calcul approché, une très petite valeur propre peut changer de signe sous l'effet des erreurs d'arrondi. Aucun seuil universel ne convient : il faut choisir une tolérance liée à l'échelle de la matrice et signaler toute inertie numériquement incertaine.

Le théorème de Sylvester établit l'invariance du nombre de carrés positifs, négatifs et nuls sous les changements de base.

L'espace vectoriel précise le cadre dans lequel les bases et leurs changements donnent plusieurs écritures d'une même forme.

La valeur propre relie la signature aux signes du spectre lorsque la forme est représentée par une matrice symétrique réelle.