base de Witt

Imaginez une règle qui mesure le produit de deux directions d’un espace, avec parfois un signe positif et parfois un signe négatif. Une base de Witt réorganise ces directions pour faire apparaître des petits blocs très lisibles dans la matrice de cette règle.

Dans la partie non dégénérée, chaque ligne et chaque colonne ne garde qu’un seul nombre non nul, égal à 1 ou −1, à l’exception des deux positions d’un bloc hyperbolique qui se répondent. Si la forme est dégénérée, les directions du radical ajoutent des lignes et des colonnes entièrement nulles. Cette organisation révèle directement les directions qui se répondent, celles qui contribuent séparément à la forme quadratique et celles qui ne contribuent pas.

Une base de Witt est une base adaptée à une forme bilinéaire symétrique réelle b. Elle s’écrit B = (u₁, …, uᵣ, v₁, …, vᵣ, w₁, …, wₖ, z₁, …, zₛ), où r compte les paires de vecteurs, k les vecteurs signés de la partie non dégénérée et s les vecteurs du radical. La dimension de l’espace impose 2r + k + s = n.

Dans cette base, la matrice de b se décompose en blocs diagonaux : des blocs hyperboliques, des coefficients diagonaux 1 ou −1 pour la partie non dégénérée, et un bloc nul pour le radical. Chaque ligne et chaque colonne de la partie non dégénérée ne contient qu’un seul coefficient non nul, égal à 1 ou à −1 ; les lignes et colonnes du radical sont entièrement nulles. La symétrie de b garantit que la matrice est symétrique.

La forme quadratique associée à b est la fonction q(x) = b(x, x). La base rend visibles les contributions croisées des paires et les contributions positives ou négatives des vecteurs restants. Elle sert ainsi à étudier la signature, notamment le nombre de directions positives et négatives, sans confondre cette décomposition avec une simple base quelconque.

Considérons E = ℝ⁴ et la base B = (u₁, v₁, w₁, w₂). Supposons que la matrice de la forme bilinéaire symétrique b dans cette base soit composée d’un bloc hyperbolique, puis de deux coefficients diagonaux.

Les données sont les suivantes : r = 1, k = 2 et n = 4 ; b(u₁, v₁) = b(v₁, u₁) = 1 ; b(w₁, w₁) = 1 ; b(w₂, w₂) = −1 ; tous les autres produits entre vecteurs de B sont nuls.

La relation de dimension donne 2r + k = 2 × 1 + 2 = 4.
Pour x = x₁u₁ + x₂v₁ + x₃w₁ + x₄w₂, la forme quadratique associée additionne les termes croisés et les termes diagonaux. Les deux coefficients hors diagonale donnent x₁x₂ + x₂x₁ = 2x₁x₂ ; les coefficients diagonaux donnent x₃² et −x₄².
Le résultat est donc q(x) = 2x₁x₂ + x₃² − x₄². Le contrôle consiste à vérifier que la matrice possède bien quatre lignes, quatre colonnes et un seul coefficient non nul par ligne et par colonne : les deux premières lignes se répondent, puis w₁ et w₂ restent isolés.

Pour analyser une forme quadratique réelle, on cherche une base dans laquelle les interactions entre directions sont regroupées en blocs courts. La lecture de la matrice devient alors un inventaire des paires et des signes.

Pour calculer la forme quadratique associée, on remplace un vecteur par ses coordonnées dans cette base, puis on additionne les termes produits par les blocs. Un bloc hyperbolique produit un terme croisé ; un coefficient diagonal produit un carré signé.

Pour étudier la signature, on compte séparément les contributions positives et négatives visibles dans les blocs diagonaux ; les lignes et colonnes nulles du radical ne contribuent à aucun de ces deux nombres. Si une autre base fournit une matrice moins structurée, la base de Witt est préférable lorsque cette organisation est nécessaire à l’interprétation.

Une base de Witt ne se confond pas avec une base orthonormée au sens euclidien. Le critère testable porte sur la matrice de b : dans la partie non dégénérée, un bloc hyperbolique peut avoir des termes diagonaux nuls et des coefficients hors diagonale égaux à 1 ; une forme dégénérée comporte en plus des lignes et colonnes nulles correspondant au radical. Pour b(u₁, v₁) = 1 et b(u₁, u₁) = b(v₁, v₁) = 0, la paire est adaptée à un bloc hyperbolique, même si ses vecteurs ne sont pas orthogonaux au sens usuel.

Elle ne se confond pas non plus avec une diagonalisation complète en coefficients 1 ou −1. Une diagonalisation peut supprimer les termes croisés, alors que la forme de Witt conserve explicitement les paires hyperboliques. Dans l’exemple sur ℝ⁴, la présence de b(u₁, v₁) = 1 tranche entre ces deux descriptions.

Le nombre r de paires, le nombre k de vecteurs restants et le nombre s de vecteurs du radical ne sont pas des nombres indépendants : ils doivent satisfaire 2r + k + s = n. Si cette égalité échoue, la liste proposée ne peut pas être une base de E ; il faut revoir le découpage ou la dimension annoncée.

Le cas r = 0 est autorisé. La base ne contient alors aucune paire hyperbolique ; la partie non dégénérée de la matrice est diagonale, avec un coefficient 1 ou −1 par ligne et par colonne, et le radical éventuel fournit des lignes et colonnes nulles. Il serait incorrect d’exiger la présence d’un bloc hyperbolique dans toute base de Witt.

La condition porte sur une forme bilinéaire symétrique réelle et sur une base entière de E. Une matrice qui comporte deux coefficients non nuls sur une même ligne hors d’un bloc hyperbolique ne satisfait pas le critère donné ; il faut changer de base ou employer une autre forme de réduction. Une forme dégénérée est représentée par des lignes et colonnes nulles correspondant à son radical : la décomposition éclaire la forme quadratique associée, mais elle ne transforme pas une forme dégénérée en forme non dégénérée.

La base de Witt se prolonge naturellement par l’étude de la forme quadratique q(x) = b(x, x) : les blocs hyperboliques, les coefficients signés et les lignes nulles du radical permettent de relier une écriture matricielle à l’indice de signature. Cette lecture est utile lorsque l’on veut comparer plusieurs formes symétriques sur le même espace, en conservant séparément les contributions positives, négatives et les éventuelles directions nulles.