forme dégénérée

Imaginez une machine qui prend deux vecteurs et renvoie un nombre. Elle est dégénérée si une direction non nulle lui devient totalement invisible : associée à n'importe quel vecteur placé de l'autre côté, cette direction donne toujours zéro.

Dans l'exemple conducteur, la matrice a deux lignes proportionnelles. Le vecteur (−2, 1) donne un produit scalaire nul avec chacune des deux lignes et la machine ne le détecte plus. Une forme non dégénérée ne possède aucune direction invisible de ce genre.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K, et B une application bilinéaire de E × F dans K. Le radical à droite de B rassemble les vecteurs de F qui donnent zéro contre tout vecteur de E ; le radical à gauche se définit en échangeant les rôles. Formellement :

La forme est dégénérée à droite, respectivement à gauche, lorsque le radical correspondant contient un vecteur non nul. Elle est non dégénérée lorsque les deux radicaux sont réduits au vecteur nul. Si E et F sont de dimension finie, de même dimension, la matrice A de B est carrée : la non-dégénérescence équivaut alors à det(A) ≠ 0, donc à l'inversibilité de A. Pour des dimensions différentes, une matrice n'est pas carrée et ce critère d'inversibilité ne s'applique pas ; les deux radicaux ne peuvent d'ailleurs pas être simultanément nuls.

La symétrie n'a de sens sans identification supplémentaire que pour une forme sur E × E. Dans ce cas, B(x, y) = B(y, x) et les radicaux gauche et droit coïncident. Le mot isotrope désigne habituellement un vecteur v non nul tel que B(v, v) = 0 ; cette condition est moins forte que l'appartenance au radical.

Sur ℝ², considérons la forme bilinéaire symétrique B définie par une matrice A. Sa première ligne contient 1 et 2 ; sa seconde contient 2 et 4. Les autres données sont un vecteur x = (x₁, x₂) quelconque et le vecteur candidat y₀ = (−2, 1).

Étape 1. On multiplie A par y₀.

Étape 2. Comme B(x, y₀) est le produit de la transposée de x par A y₀, il vaut zéro pour tout x. Le vecteur y₀ est non nul : il appartient donc au radical.

Étape 3. Le contrôle matriciel donne det(A) = 1 × 4 − 2 × 2 = 0. La matrice n'est pas inversible et son rang vaut 1, car sa seconde ligne est le double de la première.

Les deux contrôles concordent : un vecteur non nul est envoyé sur zéro et le déterminant s'annule. La forme B est dégénérée. On peut refaire le test avec tout multiple non nul de (−2, 1), qui produit encore le vecteur nul.

Avec une matrice carrée de petite taille, on calcule son déterminant. S'il est non nul, la forme est non dégénérée. S'il est nul, on résout plutôt le système homogène associé pour exhiber les directions invisibles.

Pour une matrice rectangulaire, le déterminant n'est pas disponible. On compare son rang à ses nombres de lignes et de colonnes, ou l'on calcule séparément les noyaux de A et de sa transposée afin de tester les deux côtés.

Lorsqu'un radical non nul gêne une dualité, on peut travailler sur le quotient par ce radical. Les vecteurs devenus indiscernables y sont regroupés ; la forme induite peut alors devenir non dégénérée, après vérification qu'elle est bien définie.

Vecteur isotrope et vecteur du radical. Un vecteur isotrope v vérifie seulement B(v, v) = 0. Un vecteur du radical vérifie B(x, v) = 0 pour tout x. Pour la matrice diagonale de coefficients 1 et −1, le vecteur (1, 1) est isotrope, mais la forme est non dégénérée puisque son déterminant vaut −1.

Non dégénérée et définie positive. Une forme bilinéaire symétrique réelle définie positive est non dégénérée, mais la réciproque est fausse. La même matrice diagonale de coefficients 1 et −1 définit une forme non dégénérée qui prend des valeurs positives, négatives et nulles sur des vecteurs non nuls.

Dimensions différentes. Si E et F sont de dimensions finies différentes, la matrice est rectangulaire. Par le théorème du rang, l'un au moins des deux radicaux est non nul : il faut examiner les noyaux, et non parler de matrice inversible.

Un seul côté testé. Pour une forme bilinéaire générale, annuler le radical droit ne suffit pas automatiquement à annuler le radical gauche. En dimension finie égale, les deux conditions sont équivalentes ; sans cette hypothèse, on contrôle chaque application vers le dual.

Symétrie mal posée. Écrire B(x, y) = B(y, x) exige que les deux arguments appartiennent au même espace, ou qu'une identification précise ait été donnée. Pour une application sur E × F sans identification entre E et F, on conserve les notions distinctes de gauche et de droite.

Base choisie. La matrice change avec les bases, mais la présence d'un radical ne change pas. Un déterminant peut être multiplié par des facteurs non nuls lors d'un changement de bases ; seule son annulation constitue ici le critère invariant.

La fiche forme bilinéaire replace la dégénérescence dans la structure générale des applications linéaires en chacun de leurs deux arguments.

La fiche espace dual montre où vivent les formes linéaires obtenues lorsqu'on fixe l'un des deux vecteurs.

La fiche Symplectique (forme) présente une famille importante de formes bilinéaires alternées dont la non-dégénérescence est une condition constitutive.