GéométrieNotion · Glossaire
Symplectique (forme)
Sur un espace vectoriel, une forme symplectique est une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée. Sur une variété, c'est une 2-forme différentielle fermée dont la valeur en chaque point est une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée sur l'espace tangent. Le théorème de Darboux affirme que localement toute variété symplectique est symplectomorphe à un ouvert de R^{2n} muni de sa forme symplectique standard. Les formes symplectiques apparaissent naturellement en mécanique classique (espace des phases, crochet de Poisson) et en géométrie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer antisymétrie, non-dégénérescence et fermeture.
- Calculer la forme standard comme une aire orientée dans le plan.
- Interpréter l’inversion du signe lorsque l’ordre des vecteurs change.
- Cerner la portée locale du théorème de Darboux et les obstacles de dimension.
En clair
Dans un plan, deux flèches dessinent un parallélogramme. Sa surface reçoit un signe selon l’ordre des flèches : les échanger conserve l’aire, mais inverse le signe. Une forme symplectique généralise cette mesure orientée à des espaces de dimension paire.
Elle ne mesure pas la longueur d’une flèche isolée. Elle associe un nombre à une paire de directions et ne laisse aucune direction non nulle invisible. Sur une variété, cette règle varie sans rupture d’un point à l’autre et satisfait une condition de fermeture qui assure sa cohérence locale.
Définition
Sur un espace vectoriel réel V, une forme symplectique est une application bilinéaire ω qui associe un nombre réel à deux vecteurs. Elle est antisymétrique : . Elle est aussi non dégénérée : si un vecteur u vérifie pour tout vecteur v, alors u est nul. Cette dernière condition interdit une direction non nulle que la forme ne détecterait jamais.
Sur une variété M, ω est une 2-forme différentielle lisse. À chaque point, elle doit être non dégénérée sur l’espace tangent. Elle doit en outre être fermée, ce qui s’écrit . Une telle structure ne peut exister qu’en dimension paire.
Le théorème de Darboux dit qu’au voisinage de chaque point d’une variété symplectique de dimension 2n, il existe des coordonnées locales q1, …, qn, p1, …, pn dans lesquelles la forme prend l’expression standard :
Le théorème est local : il uniformise la forme près d’un point, sans rendre identiques les variétés entières.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan de coordonnées q et p, prenons la forme standard . Les données sont le vecteur u de coordonnées (2, 1) et le vecteur v de coordonnées (1, 3). Le parallélogramme qu’ils engendrent représente l’aire orientée calculée par ω.
1. On place les coordonnées de u et v comme colonnes d’une matrice :
2. La forme standard calcule le déterminant de ces deux colonnes :
L’aire orientée vaut exactement 5 unités d’aire.
3. En échangeant les vecteurs, le même calcul donne . La valeur absolue reste 5, tandis que l’orientation s’inverse.
4. Pour contrôler la non-dégénérescence, considérons un vecteur non nul w de coordonnées (a, b) et choisissons z de coordonnées (−b, a). Alors . Aucun vecteur non nul n’est donc invisible pour ω.
En pratique
Dans l’espace des phases de la mécanique classique, les coordonnées de position q et d’impulsion p vont par paires. La forme symplectique standard encode cette association. Elle est préférée à une simple mesure de distance lorsque l’on veut suivre la structure des équations du mouvement.
Pour étudier localement une variété symplectique, on cherche des coordonnées de Darboux. Elles ramènent ω à la somme standard des termes dqi ∧ dpi. Si la question dépend de la géométrie globale, ces coordonnées locales ne suffisent pas et il faut comparer leurs domaines.
Le crochet de Poisson traduit également la structure symplectique en une opération sur les fonctions. On l’emploie pour relier deux observables ; si la 2-forme devient dégénérée, cette correspondance ne s’obtient plus par inversion et un autre cadre est nécessaire.
À ne pas confondre
Une forme symplectique n’est pas une métrique riemannienne. La première est antisymétrique et vérifie toujours ω(u, u) = 0 ; la seconde est symétrique et peut mesurer la longueur d’un vecteur. Demander la longueur de u impose donc une métrique, pas ω.
Une forme volume est une forme différentielle de degré égal à la dimension et ne s’annule pas. Une forme symplectique est toujours de degré 2 et non dégénérée. Sur une surface, les degrés coïncident ; en dimension 4 ou davantage, le degré permet de les distinguer immédiatement.
Une forme bilinéaire antisymétrique n’est pas automatiquement symplectique. Sur ℝ3, toute forme antisymétrique est dégénérée. Vérifier seulement le changement de signe ne suffit donc pas : il faut aussi tester l’absence de direction invisible.
Limites et pièges
Dimension impaire. Une matrice antisymétrique de taille impaire a un déterminant nul. La forme est alors dégénérée ; sur une variété de dimension 2n + 1, il faut donc chercher une autre structure plutôt qu’une forme symplectique.
Fermée ne signifie pas non dégénérée. La 2-forme nulle vérifie dω = 0, mais elle associe zéro à toute paire de vecteurs. Il faut contrôler séparément la fermeture et la non-dégénérescence.
Non dégénérée ne signifie pas fermée. Dans ℝ4, de coordonnées x1, y1, x2, y2, considérons la région x1 > −1 et la 2-forme :
Elle est non dégénérée dans cette région, mais . Le test point par point ne remplace donc pas le calcul de la dérivée extérieure.
Le modèle de Darboux reste local. Des coordonnées standard existent près de chaque point, mais un seul système de coordonnées ne couvre pas nécessairement toute la variété. Pour une question globale, il faut examiner la topologie et le raccordement des cartes.
Pour aller plus loin
La fiche forme bilinéaire précise la linéarité séparée en chacun des deux vecteurs, socle algébrique de la définition symplectique.
La fiche Darboux Gaston situe le mathématicien dont le nom est attaché au modèle local des variétés symplectiques.
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